关于ℝ³中4个两两相切球面构成拓扑空间的基本群的疑问

嘿，我来帮你梳理下这个问题的思路，你直觉上得到的结论其实是对的，但咱们得把你纠结的两个点给捋清楚：

首先，先确认你的核心观察：四个两两相切球面构成的空间，基本群确实是自由群$\langle a,b,c\rangle$。咱们一步步拆解：

关于三个相切球面的同伦等价问题 #

你提到三个两两相切球面的并同伦等价于圆周，这点没错——虽然它们不同胚，但同伦等价只需要找到连续映射来回复合后同伦于恒等映射就行。比如三个两两相切的球面$S_1,S_2,S_3$，它们的并可以形变收缩到连接三个切点的三条弧组成的三角形，而三角形作为1维复形，是同伦等价于圆周$S^1$的。

但你担心的“子空间的并是否和同伦等价空间的并有相同同伦型”，其实在这里不需要直接替换每个子空间，咱们可以直接对整个四个球面的并空间做形变收缩：

• 对于每个球面$S_i$，它和另外三个球面各相切于一个不同的点，这三个点在$S_i$上构成一个“三角架”。我们可以把$S_i$慢慢形变收缩到连接这三个切点的三条弧上（比如取每个球面上的大圆弧）。
• 当对四个球面同时做这个形变收缩时，整个空间最终会收缩到由所有6条切点间的弧组成的1维复形——也就是四面体的1-骨架（6条边对应6个切点对，4个顶点对应4个球面的切点集合）。

而连通图的基本群是自由群，生成元个数等于「边数 - 顶点数 + 1」，这里就是$6-4+1=3$，所以基本群正好是$\langle a,b,c\rangle$，和你的直觉一致。

关于和“挖去4个点的球面”等价的思路 #

这个方向其实也走得通！咱们可以用球极投影把$\mathbb{R}^{3$紧化成$S}3$，四个两两相切的球面在$S^{3$中依然是两两相切的球面。而四个球面的并空间，和$S}2$挖去4个点的空间是同伦等价的：

• 挖去4个点的$S^2$可以形变收缩到连接这4个点的6条弧（也就是四面体的1-骨架），和咱们刚才得到的四个球面并的形变收缩核完全一样。
• 虽然直接找同伦等价的映射可能有点绕，但通过形变收缩核的一致性，就能确认它们的基本群相同。

总结一下：你的直觉是对的，不管是通过形变收缩到四面体1-骨架，还是通过和挖去4个点的球面同伦等价，都能证明这个空间的基本群是$\langle a,b,c\rangle$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pietro C.