关于非齐次不等式(*)的推导思路、孤立放缩方法及证明技巧问询

我最近碰到了一个非齐次不等式的证明难题，需要证明：
$$\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}}{2\left(\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ac}\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{abc}+5\right) +4a\ge 2\sqrt{4a^2+5a}, \tag{*}$$
其中$a,b,c>0$。

之前在相关讨论区里，River Li提到用孤立放缩的方法，可以快速处理另一个同类型的非齐次不等式：
$$4(a+b+c)+\sqrt[3]{abc}+5\ge 2\left(\sqrt{4a^{2+5a}+\sqrt{4b}2+5b}+\sqrt{4c^2+5c}\right).$$

我特别好奇的是，这个不等式()究竟是怎么构造出来的？另外我自己尝试用平方的方法去证明()，但过程异常复杂，根本推进不下去。

所以想请教各位大佬，能不能分享一下这个孤立放缩思路的具体细节，还有关于不等式(*)的推导逻辑、证明技巧？非常感谢大家的关注！

相关参考 #

这里还有几个同类型的非齐次不等式问题，供大家参考：

• 问题1
• 问题2
• 问题3
• 问题4

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang