关于特定可测函数的可测性验证及可测性与σ代数关联性的技术问询

首先咱们先把问题背景再明确一下：
设$\Omega = { a, b, c}$（其中$a,b,c$是不同元素），对应的σ代数$\mathcal{F} = { \emptyset, {a,b}, {c}, \Omega }$。
你定义了函数$\mu : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$，满足：
$$\mu(\omega) = 1 \ \text{if} \ \omega \in {a, b}$$
（这里你没写$\mu(c)$的取值，不过从给出的逆像表达式来看，应该是$\mu(c) \neq 1$，咱们就基于这个前提分析）

第一个问题：$\mu$是否关于$\mathcal{F}$和$\mathcal{B}(\mathbb{R})$可测？ #

答案是是的，不过先纠正你写的逆像里的一个小笔误：你写的${\emptyset}$应该是$\emptyset$（前者是包含空集的集合，和空集本身是完全不同的概念）。修正后，结合可测函数的定义来验证：

可测函数要求对所有$\mathcal{B}(\mathbb{R})$中的集合$B$，$\mu^{-1}(B)$都属于$\mathcal{F}$。我们分情况讨论逆像：

• 当$1 \in B$且$\mu(c) \notin B$时：$\mu^{-1}(B) = {a,b} \in \mathcal{F}$；
• 当$1 \notin B$且$\mu(c) \in B$时：$\mu^{-1}(B) = {c} \in \mathcal{F}$；
• 当$1 \notin B$且$\mu(c) \notin B$时：$\mu^{-1}(B) = \emptyset \in \mathcal{F}$；
• 当$1 \in B$且$\mu(c) \in B$时：$\mu^{-1}(B) = \Omega \in \mathcal{F}$。

所有可能的逆像都是$\mathcal{F}$的元素，完全符合可测函数的定义，所以$\mu$确实是关于$\mathcal{F}$和$\mathcal{B}(\mathbb{R})$可测的。

第二个问题：同一可测空间上的函数，是否可能只对某个σ代数可测，对另一个σ代数不可测？ #

当然可以！可测性本质上是函数和σ代数的“适配性”，它不是函数自身的固有属性，而是依赖于定义域上的σ代数（以及值域的σ代数）。举两个直观的例子：

• 还是用$\Omega = {a,b,c}$，如果换一个更粗的σ代数$\mathcal{F}' = { \emptyset, \Omega }$（只有空集和全集的σ代数），那刚才的$\mu$就不可测了：比如取$\mathcal{B}(\mathbb{R})$中的集合$B=(0.5,1.5)$，$\mu^{-1}(B)={a,b}$，但${a,b}$不在$\mathcal{F}'$里，不满足可测性要求。
• 反过来，如果用$\Omega$上的离散σ代数（也就是$\Omega$的所有子集构成的σ代数），那任何从$\Omega$到$\mathbb{R}$的函数都是可测的——因为任何逆像都是$\Omega$的子集，必然属于这个σ代数。

核心结论是：函数的可测性是和特定σ代数绑定的，换σ代数之后，可测性完全可能发生变化。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TJT