关于一对一矩阵变换定理值域维度及相关概念的技术问询

我对《Interactive Linear Algebra》里关于一对一矩阵变换的定理最后一条有点困惑，不确定自己理解得是否准确，也不太能精准组织这个问题的表述。我想弄明白：为什么定理里最后说“T的值域维度为n”，而不是m呢？

先把这个定理完整列出来：

定理（一对一矩阵变换）：设A是$m \times n$矩阵，$T(x) = Ax$是对应的矩阵变换。以下陈述等价：

• T是一对一的。
• 对任意$\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$，方程$T(x)=\boldsymbol{b}$至多有一个解。
• 对任意$\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$，方程$Ax = \boldsymbol{b}$有唯一解或无解。
• $Ax = \boldsymbol{0}$只有零解。
• A的列向量线性无关。
• A的每一列都有主元。
• T的值域维度为n。

结合教材之前给出的相关定义：

定义：从$\mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}m$的变换T是一个规则，它给$\mathbb{R}^{n$中的每个向量x分配$\mathbb{R}}m$中的一个向量$T(x)$。

• $\mathbb{R}^n$称为T的定义域。
• $\mathbb{R}^m$称为T的陪域。
• 对$\mathbb{R}^{n$中的x，$\mathbb{R}}m$中的向量$T(x)$是x在T下的像。
• 所有像的集合${ T(x) \mid x \in \mathbb{R}^n }$是T的值域。

我怀疑自己是不是搞混了这本教材里“像”和“值域”的用法——我知道这两个术语在不同资料里的定义并没有统一标准，但我想搞懂这本教材到底想表达什么。另外，值域的维度是不是和定义域$\mathbb{R}^n$里的x有关？这和其他地方定义的“秩是值域的维度”又怎么联系起来呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adrian Fletcher