隐式龙格-库塔方法局部截断误差证明与A-稳定性验证技术问询

我目前在研究下面这个隐式龙格-库塔方法：
$$
y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n + \frac{2}{3}h, \frac{1}{3}(y_n + 2y_{n+1})\right)
$$
需要完成两个核心任务：

• a) 证明该方法的局部截断误差为 $O(h^2)$
• b) 证明该方法具备A-稳定性

下面是我目前的推导进展：
我明确应该使用局部截断误差的标准公式：
$$
\tau(x,h)=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}- \phi(x,y(x),h)
$$
经过泰勒级数展开处理后，我推导出了$\phi(x, y(x); h)$的表达式：
$$
\phi (x, y(x); h) = f(t, \frac{y}{3}) + \frac{2}{3}hf_x(t, \frac{y}{3}) + \frac{2}{3}(y(t)+hy'(\eta_t))f_y(t, \frac{y}{3}) + O(h^2)
$$
之后再次通过泰勒级数展开，得到了局部截断误差$\tau(x,h)$的表达式：
$$
\tau(x,h)=y'(t)+\frac{h}{2}y''(\xi_t) - \left(f(t, \frac{y}{3}) + \frac{2}{3}hf_x(t, \frac{y}{3}) + \frac{2}{3}(y(t)+hy'(\eta_t))f_y(t, \frac{y}{3}) + O(h^2)\right)
$$

现在我有点困惑：我当前的推导方向是正确的吗？从这一步开始不知道该如何继续推进了，另外我是不是应该在泰勒展开中多保留一项来得到更精确的结果呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomas Escobar Rivera