关于容斥项非负性的不等式证明问询

大家好，我在分析自己正在研究的算法性质时，推导出了一个包含容斥项的不等式，现在想寻求证明思路的建议或提示。

设自然数满足 $0 \leq i \leq j < k$，我需要证明以下不等式成立：
$$
\sum_{a = 1}^{i} (-1)^{a+1} \frac{a}{k - a} \binom{k}{a} \binom{k - a}{k - i} \binom{k - a}{k - j} \geq 0
$$

这个不等式看起来结构不算复杂——毕竟 $\frac{a}{k - a} > 0$，但交替的正负号让证明变得格外棘手。

我已经尝试过两种思路，但都没取得进展：

• 尝试用归纳法证明，但始终找不到合适的归纳步骤；
• 也试过把求和项拆分成正项和负项分别处理，但尝试了各种分组方式（两项、三项、四项）都没法得到想要的非负结论。

举个具体的例子：当 $k=10$，$j=8$，遍历 $i \in {0,...,8}$ 时，求和的结果如下：

• k=10, i=0, j=8: 0 = []
• k=10, i=1, j=8: 40 = [40]
• k=10, i=2, j=8: 45 = [360, -315]
• k=10, i=3, j=8: 0 = [1440, -2520, 1080]
• k=10, i=4, j=8: 0 = [3360, -8820, 7560, -2100]
• k=10, i=5, j=8: 0 = [5040, -17640, 22680, -12600, 2520]
• k=10, i=6, j=8: 0 = [5040, -22050, 37800, -31500, 12600, -1890]
• k=10, i=7, j=8: 0 = [3360, -17640, 37800, -42000, 25200, -7560, 840]
• k=10, i=8, j=8: 0 = [1440, -8820, 22680, -31500, 25200, -11340, 2520, -180]

后来我用《具体数学》（Graham, Knuth, Patashnik）里的常用恒等式做了转化，问题等价于证明：
$$
\sum_{a=0}^{i-1} (-1)^a \frac{(k-a-2)!}{a! (i-a-1)! (j-a-1)!} \geq 0
$$

非常感谢各位能给我一些思路或者提示，提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tobias