n维空间中三点形成夹角的弧度值计算公式问询

嗨，这个问题的核心其实是利用向量点积的通用性质来推导，不管维度多少都适用，我给你拆解清楚：

首先得明确，$\widehat{abc}$是顶点在点b的夹角，所以我们需要先定义两个关键向量：

• 向量$\vec{BA}$：由点b指向点a，坐标表示为 $(a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n)$
• 向量$\vec{BC}$：由点b指向点c，坐标表示为 $(c_1 - b_1, c_2 - b_2, \dots, c_n - b_n)$

接下来，根据向量点积的几何定义，两个向量的点积等于它们的模长乘积乘以夹角的余弦值：
$$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \times |\vec{BC}| \times \cos(\widehat{abc})$$

把这个公式变形，就能解出夹角的弧度值：
$$\widehat{abc} = \arccos\left( \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \times |\vec{BC}|} \right)$$

再把向量的坐标代入，展开成具体的计算式：

• 点积部分：$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)(c_i - b_i)$
• $\vec{BA}$的模长：$|\vec{BA}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)^2}$
• $\vec{BC}$的模长：$|\vec{BC}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (c_i - b_i)^2}$

把这些代入后，最终的通用计算公式就是：
$$\widehat{abc} = \arccos\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)(c_i - b_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)^2} \times \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (c_i - b_i)^2}} \right)$$

需要注意的是，这个公式的前提是$\vec{BA}$和$\vec{BC}$都不是零向量（也就是a、b不重合，b、c不重合），否则夹角没有定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ter Maxima