在二维三角形区域构造满足特定条件的连续可微函数的示例请求
嘿，我来给你一个可行的构造方案，完美符合你的要求～
首先我们选定一个简单的直角三角形区域 $\Delta$，顶点为 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$，这个区域可以用不等式描述为：$x \geq 0,\ y \geq 0,\ x + y \leq 1$。
接下来构造两个满足条件的连续可微函数：
第一步：构造函数 $u(x,y)$
取 $u(x,y) = x - y$，这是一个线性函数，显然属于 $C^1(\Delta)$。我们验证它的二重积分：
$$
\iint_{\Delta} (x - y) dxdy = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} (x - y) dy
$$
先计算内层积分：
$$
\int_{0}^{1-x} (x - y) dy = \left[ xy - \frac{y^2}{2} \right]{0}^{1-x} = x(1-x) - \frac{(1-x)^2}{2}
$$
展开后积分整个区域：
$$
\int{0}^{1} \left( x - x^2 - \frac{1 - 2x + x^2}{2} \right) dx = \int_{0}^{1} \left( 2x - \frac{3x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right]_{0}^{1} = 0
$$
完全符合积分等于0的要求。
第二步：构造函数 $v(x,y)$
我们取 $v(x,y) = e^{x-y} - K$，其中 $K$ 是一个常数，用来调整积分值为0。首先计算 $\iint_{\Delta} e^{x-y} dxdy$：
$$
\iint_{\Delta} e^{x-y} dxdy = \int_{0}^{1} e^x dx \int_{0}^{1-x} e^{-y} dy = \int_{0}^{1} e^x \left( 1 - e^{x-1} \right) dx
$$
计算这个积分：
$$
\int_{0}^{1} (e^x - e^{2x-1}) dx = \left[ e^x - \frac{e^{2x-1}}{2} \right]{0}^{1} = \frac{e}{2} - 1 + \frac{e^{-1}}{2}
$$
由于三角形 $\Delta$ 的面积是 $\frac{1}{2}$，我们令 $K = 2 \times \left( \frac{e}{2} - 1 + \frac{e^{-1}}{2} \right) = e + e^{-1} - 1$，这样：
$$
\iint{\Delta} v(x,y) dxdy = \iint_{\Delta} e^{x-y} dxdy - K \times \frac{1}{2} = 0
$$
同时，$v(x,y)$ 显然属于 $C^1(\Delta)$，因为指数函数是光滑可微的。
验证 $u^2 + v^2 \neq 0$
假设存在 $(x,y) \in \Delta$ 使得 $u^2 + v^2 = 0$，则需要同时满足：
- $x - y = 0$（即 $x = y$）
- $e^{x-y} - K = 0$，代入 $x=y$ 得 $e^0 = K$，即 $K=1$
但我们计算出的 $K = e + e^{-1} - 1 \approx 2.086 \neq 1$，因此不存在这样的点，即对所有 $(x,y) \in \Delta$，$u^2(x,y) + v^2(x,y) \neq 0$。
这样我们就得到了完全符合要求的两个连续可微函数！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Иван Петров
