单位球面$\Bbb S^{n-1}$上概率测度在$O(n)$变换下的积分等价性问题

先铺垫几个基础定义：

• $\Bbb S^{n-1}$表示$\Bbb R^n$中的单位球面；
• $O(n)$是$\Bbb R^n$上所有正交线性变换构成的群；
• 对于$\Bbb R^n$上的任意（外）测度$\mu$，正交变换$T\in O(n)$对应的推前测度定义为：
  $$T_{#}\mu(E) := \mu(T^{-1}(E))$$
  显然，$O(n)$元素的推前操作会把$\Bbb S^{n-1}$上的概率测度映射到$\Bbb S^{n-1}$上的另一个概率测度。

核心问题 #

假设$\mu$是$\Bbb S^{n-1}$上的概率测度，连续函数$f\in C(\Bbb S^{n-1})$满足：
$$\int_{\Bbb S^{n-1}} f ,d\mu = \int_{\Bbb S^{n-1}} f ,dT_{#}\mu \quad \text{for all } \ T\in O(n), \tag{}\label{}$$

那么是否必然有：
$$\int_{\Bbb S^{n-1}} f ,d\mu = \frac{1}{\mathcal H^{n-1}(\Bbb S^{n-1})} \int_{\Bbb S^{n-1}} f ,d\mathcal H^{n-1} =: \bar f, \tag{}\label{}$$
其中$\mathcal H^{n-1}$是$n-1$维Hausdorff测度？

已知情况与反例 #

• 当$\mu$是某个$x\in\Bbb S^{n-1}$对应的Dirac测度$\delta_x$时，情况非常明确——此时可以直接推出$f$必须是常函数。

• 我最初曾猜想，条件$\eqref{*}$直接蕴含$f$是常函数，但这个猜想并不成立。我们可以构造一个简单的反例：
  取$\mu = \frac1n (\delta_{e_1} + \cdots + \delta_{e_n})$（$e_i$是$\Bbb R^n$的标准正交基），再取$f(x) = x\cdot Ax$，其中$A$是任意$n\times n$矩阵。

  计算积分可得：
  $$\int_{\Bbb S^{n-1}} f ,d\mu = \frac 1n \sum_{i=1}^n e_i\cdot Ae_i = \frac{\text{Tr}(A)}{n},$$
  而条件$\eqref{*}$成立的依据是矩阵的迹在正交基变换下保持不变这一经典结论。显然这里的$f$不是常函数，但我们可以利用散度定理（结合$\text{Tr}(A) = \text{div}, Ax$的性质）证明：
  $$\frac{\text{Tr}(A)}{n} = \frac{1}{\mathcal H^{n-1}(\Bbb S^{n-1})} \int_{\Bbb S^{n-1}} x\cdot Ax ,d\mathcal H^{n-1}(x)$$

提问动机与需求 #

这个问题正是由上面这个关于矩阵迹的例子启发而来。我将$f$限制为连续函数，是因为感觉可以借助$\Bbb S^{n-1}$上连续函数与Radon测度的对偶性给出漂亮的证明。

我知道存在一类名为齐性空间测度的概念，是Haar测度的推广，但对这一领域几乎一无所知。我欢迎使用这类理论的证明，但也希望能看到不依赖它的证明——哪怕过程更长、不够优雅也没关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BigbearZzz