可分Hilbert空间中稠密子空间上正算子的全空间正性证明求助
嘿，这个问题其实可以通过几个关键步骤来解决，我给你梳理一下核心思路：
第一步，利用极化恒等式证明P在稠密子空间W上是对称的。因为对所有$w \in W$，$\langle Pw, w\rangle$都是非负实数，根据极化恒等式：
$$\langle Px, y\rangle = \frac{1}{4}\left(\langle P(x+y), x+y\rangle - \langle P(x-y), x-y\rangle + i\langle P(x+iy), x+iy\rangle - i\langle P(x-iy), x-iy\rangle\right)$$
对于任意$w,v \in W$，可以推导出$\langle Pw, v\rangle = \overline{\langle Pv, w\rangle}$，也就是$\langle Pw, v\rangle = \langle w, Pv\rangle$，这说明P在W上是对称算子。第二步，把对称性推广到整个H空间。因为W在H中稠密，任取$f,g \in H$，都能找到W中的序列$(w_n)$收敛到$f$，$(v_n)$收敛到$g$。此时：
$$\langle Pf, g\rangle = \lim_{n \to \infty} \langle Pw_n, v_n\rangle$$
而根据W上的对称性，$\langle Pw_n, v_n\rangle = \langle w_n, Pv_n\rangle$，右边的极限就是$\langle f, Pg\rangle$，因此$\langle Pf, g\rangle = \langle f, Pg\rangle$，这说明P是全空间上的自伴算子。第三步，借助Hellinger-Toeplitz定理得到P的有界性。这个定理的结论是：定义在整个Hilbert空间上的自伴线性算子一定是有界的。所以现在我们确定P是有界自伴算子。
最后完成正性的证明。对于$f \in H$，取W中的序列$(w_n)$收敛到$f$，因为P有界，所以$Pw_n \to Pf$。此时利用内积的连续性：
$$\langle Pf, f\rangle = \lim_{n \to \infty} \langle Pw_n, w_n\rangle$$
而每个$\langle Pw_n, w_n\rangle \ge 0$，非负数的极限也必然非负，因此$\langle Pf, f\rangle \ge 0$，这就证明了P是H上的正算子。
至于你之前疑惑的极限交换问题，其实在证明了P的有界性之后，内积的连续性就保证了这个极限是成立的，具体可以通过三角不等式验证：
$$|\langle Pw_n, w_n\rangle - \langle Pf, f\rangle| \le |\langle Pw_n, w_n - f\rangle| + |\langle Pw_n - Pf, f\rangle| \le |Pw_n| \cdot |w_n - f| + |Pw_n - Pf| \cdot |f|$$
由于$(w_n)$收敛所以有界，P有界所以$|Pw_n|$也有界，而$|w_n - f| \to 0$，$|Pw_n - Pf| \le |P| \cdot |w_n - f| \to 0$，因此整个式子趋向于0，极限成立。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ash
