非递减函数积分性质证明疑问：∫₀¹f(x)dx=0时是否必有f(x)≡0在[0,1]上成立？

嘿，我来帮你捋清楚这个问题哈！你一开始觉得这个结论是对的，但有人说不对，其实问题出在你的推理太绝对啦，忽略了非递减函数可以存在正负抵消的情况。

首先，咱们先明确题目条件：f是非递减（或者说“不是递减”，本质是满足对任意x₁<x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)）的函数，且从0到1的积分等于0。你认为f必须恒为0，但这个结论是不成立的，咱们可以找个简单的反例：

定义函数f(x)：

• 当x ∈ [0, 1/2]时，f(x) = -1
• 当x ∈ (1/2, 1]时，f(x) = 1

你看，这个函数完全符合非递减的要求：任意取x₁<x₂，要么两者都在左半段，f(x₁)=f(x₂)=-1；要么都在右半段，f(x₁)=f(x₂)=1；要么左半段的x₁和右半段的x₂，f(x₁)=-1 ≤ 1=f(x₂)，没有任何问题。

然后计算积分：
∫₀¹f(x)dx = ∫₀^(1/2)-1 dx + ∫_(1/2)^1 1 dx = (-1)*(1/2) + 1*(1/2) = 0

你看，积分确实是0，但这个函数明显不是处处为0的呀！

为啥你的推理错了呢？因为你误以为“积分等于0就只能是函数恒为0”，但实际上只要函数在区间上的正面积和负面积刚好抵消，积分就会是0。而非递减的特性允许我们构造出这样的分段函数——前面一段取负数，后面一段取不小于前面的正数，只要调整两段的长度，就能让积分刚好抵消为0。

哦对了，如果题目多一个“f非负”的条件，那你的结论就成立了：非负且非递减的函数，积分等于0的话，必然处处为0。但原题没有这个非负限制，所以存在这样的反例，证明原结论不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Artemis F