复克利福德代数中$x\cdot e_n \cdot x \cdot e_n$的计算推导疑问

别担心，刚接触克利福德代数的时候，这种非交换乘积的计算确实容易让人摸不着头脑，我来一步步给你拆解这个推导过程：

首先，牢牢记住克利福德代数的核心恒等式——这是所有这类计算的基础：对于任意两个向量$u, v \in V$，它们在克利福德代数中的乘积满足：
$$u \cdot v + v \cdot u = -2Q(u, v)$$
这个式子直接来自克利福德代数的定义（理想由${v \otimes v + Q(v,v)\cdot 1 : v \in V}$生成，也就是$v^2 = -Q(v,v)$，把$(u+v)^2$展开就能推导出这个交换关系）。

回到你的问题场景：

• $x \in \mathbb{C}^{{n-1}$，我们可以把它看作$\mathbb{C}}n$中最后一个分量为0的向量，所以$x$和$\mathbb{C}^n$的第n个标准基向量$e_n$是关于标准复双线性形式$q$正交的，也就是$q(x, e_n) = 0$（因为x的n分量是0，按标准双线性形式计算结果为0）。

现在开始一步步计算$x \cdot e_n \cdot x \cdot e_n$：

1. 处理中间的反交换关系：根据上面的核心恒等式，因为$q(x,e_n)=0$，所以：
   $$x \cdot e_n + e_n \cdot x = -2q(x,e_n) = 0$$
   移项后得到关键结论：$e_n \cdot x = -x \cdot e_n$——正交向量在克利福德代数里是反交换的。
2. 代入反交换关系重写原式：把原式分组，替换中间的$e_n \cdot x$：
   $$x \cdot e_n \cdot x \cdot e_n = x \cdot (e_n \cdot x) \cdot e_n = x \cdot (-x \cdot e_n) \cdot e_n$$
3. 利用结合律拆分乘积：克利福德代数是结合代数（继承自张量代数的结合性），所以可以重新结合括号：
   $$x \cdot (-x \cdot e_n) \cdot e_n = - (x \cdot x) \cdot (e_n \cdot e_n)$$
4. 计算$e_n$的平方项：根据克利福德代数的定义，$e_n^2 = -q(e_n,e_n)$，而标准复双线性形式下$q(e_n,e_n)=1$，所以$e_n^2 = -1$。代入上式：
   $$- (x \cdot x) \cdot (-1) = x \cdot x$$

这样就得到了你疑惑的等式$x \cdot e_n \cdot x \cdot e_n = x \cdot x$，再结合克利福德代数中$x^2 = -q(x,x)$的定义，就正好对应Hamilton所说的$\delta(x)^2 = -q(x,x)$了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CBBAM