如何不借助√3的下界证明给定序列单调递减？

嘿，我有个很直接的思路，不用一开始就依赖√3这个紧下界做矛盾法——我们可以先通过归纳法证明对所有正整数n，都有$a_n^2 \geq 3$，再直接计算$a_n - a_{n+1}$的符号来推导单调性，每一步都很扎实：

首先先确认个基础前提：序列里所有项都是正数。因为$a_1=3>0$，递推式里的两项都是正数相加，所以不管n取多少，$a_n>0$，这个结论后面会用到。

第一步：用归纳法证明$a_n^2 \geq 3$ #

• 基例（n=1）：$a_1^2=9$，显然$9 \geq 3$，成立。
• 归纳假设：假设当n=k时，$a_k^2 \geq 3$成立。
• 归纳推导：我们要证$a_{k+1}^2 \geq 3$。先展开$a_{k+1}$的平方：
  $$
  a_{k+1}^2 = \left( \frac{a_k}{2} + \frac{3}{2a_k} \right)^2 = \frac{a_k^2}{4} + 2 \cdot \frac{a_k}{2} \cdot \frac{3}{2a_k} + \frac{9}{4a_k^2}
  $$
  化简中间的交叉项：$2 \cdot \frac{a_k}{2} \cdot \frac{3}{2a_k} = \frac{3}{2}$，所以式子变成：
  $$
  a_{k+1}^2 = \frac{a_k^2}{4} + \frac{3}{2} + \frac{9}{4a_k^2}
  $$
  现在计算$a_{k+1}^2 - 3$，看它的符号：
  $$
  a_{k+1}^2 - 3 = \frac{a_k^2}{4} + \frac{3}{2} + \frac{9}{4a_k^2} - 3 = \frac{a_k^2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{9}{4a_k^2}
  $$
  把右边整理成完全平方的形式：
  $$
  a_{k+1}^2 - 3 = \frac{a_k^4 - 6a_k^2 + 9}{4a_k^2} = \frac{(a_k^2 - 3)^2}{4a_k2}
  $$
  分子是平方项，肯定是非负的；分母$4a_k^{2>0$（因为之前确认了$a_k>0$），所以$a_{k+1}}2 - 3 \geq 0$，也就是$a_{k+1}^2 \geq 3$，归纳推导成立。

第二步：推导序列单调递减 #

现在我们已经有了$a_n^2 \geq 3$的结论，直接计算$a_n - a_{n+1}$：
$$
a_n - a_{n+1} = a_n - \left( \frac{a_n}{2} + \frac{3}{2a_n} \right) = \frac{a_n}{2} - \frac{3}{2a_n} = \frac{a_n^2 - 3}{2a_n}
$$
分子$a_n^2 - 3 \geq 0$，分母$2a_n>0$，所以$a_n - a_{n+1} \geq 0$，也就是$a_{n+1} \leq a_n$对所有正整数n都成立。

这样就直接证明了序列是单调递减的，整个过程用的是归纳法加直接的代数变形，完全不用依赖矛盾法或者提前把√3作为下界来用，每一步都很直观~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user129393192