关于欧氏空间子集的连续性问题：若所有从A到ℝ的连续函数均为常值，A是否必为单点集？

问题：已知$A\subseteq\mathbb{R}^2$，且所有从$A$到$\mathbb{R}$的连续函数都是常值函数，那么$A$一定是单点集吗？（判断对错）

我的思路：我知道连续函数把连通集映射成$\mathbb{R}$中的连通集，但仅凭这个信息我没法解决这个问题，求帮忙！

嗨，我来帮你把这个问题理清楚！答案其实是True，咱们一步步推导：

首先假设$A$不是单点集——那里面至少存在两个不同的点，比如$a=(a_1,a_2)$和$b=(b_1,b_2)$，它们的欧氏距离$|b-a|>0$对吧？

接下来构造一个非常直观的连续函数：定义$f:A\to\mathbb{R}$为$f(x) = |x - a|$，也就是$A$里的点$x$到点$a$的欧氏距离。这个函数肯定是连续的，因为欧氏距离本身在$\mathbb{R}^2$上就是连续函数，把它限制在子集$A$上，连续性依然保持。

现在看函数取值：$f(a)=0$，而$f(b)=|b-a|>0$，这说明$f$不是常值函数——但这和题目里“所有从$A$到$\mathbb{R}$的连续函数都是常值”的条件直接矛盾了！

所以咱们的假设不成立，$A$只能是单点集。

你提到的连通集性质也能辅助理解：如果$A$是连通且非单点的，$\mathbb{R}$中的连通集是区间，连续函数可以取到区间内的所有值，自然不是常值；如果$A$不连通，那我们也能构造出在不同连通分支上取不同值的连续函数，同样不是常值。不管哪种情况，只要$A$不是单点，就一定存在非平凡的连续实值函数，反过来就说明题设条件下$A$必须是单点集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者General Mathematics