Brezis泛函分析习题8.28中H¹(I)函数分量条件证明的卡壳点求助

我现在在做Brezis泛函分析里的习题8.28，卡在了最后证明$H^{1(I)$函数分量条件的反向推导部分——就是要证$\sum_{k=0}}{\infty} \left | \frac{1}{2} \alpha_k (f) - a \right |^2 < + \infty$这一步，想请教大家给点提示！

先把我目前的推导过程放出来：

假设$f \in L^{2(I)$且满足$\sum_{k=0}}{\infty} |k \alpha_k(f)+a|^2<\infty$，要证$f \in H^1(I)$。

我先取$\varphi \in C^\infty_c (I)$，做了如下推导：
$$
\begin{align*}
\int_I f \varphi' &= \int_I \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k (f) e_k \varphi' \
&= \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k (f) \int_I e_k \varphi' \
&= - \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k (f) \int_I e_k' \varphi \
&= - \pi \sum_{k=0}^{\infty} \left(k+\frac{1}{2}\right) \alpha_k (f) \int_I \tilde e_k \varphi \
&= - \int_I \left ( \pi \sum_{k=0}^{\infty} \left(k+\frac{1}{2}\right) \alpha_k (f) \tilde e_k \right ) \varphi.
\end{align*}
$$
所以现在只需要证明$v := \pi \sum_{k=0}^{\infty} \left(k+\frac{1}{2}\right) \alpha_k (f) \tilde e_k \in L^2 (I)$，也就是要证：
$$
C := \sum_{k=0}^{\infty} \left | \left(k+\frac{1}{2}\right) \alpha_k (f) \right |^2 < + \infty.
$$
我把这个式子拆成了：
$$
\begin{align*}
C &= \sum_{k=0}^{\infty} \left | \left ( k \alpha_k (f) +a \right ) + \left ( \frac{1}{2} \alpha_k (f) - a \right ) \right |^2 \
&\le \sum_{k=0}^{\infty} | k \alpha_k (f) +a |^2 + \sum_{k=0}^{\infty} \left | \frac{1}{2} \alpha_k (f) - a \right |^2.
\end{align*}
$$
现在已知第一项是收敛的，但第二项$\sum_{k=0}^{\infty} \left | \frac{1}{2} \alpha_k (f) - a \right |^2$的收敛性我卡壳了，不知道怎么证。

想请教的提示方向： #

• 能不能从已知的$f \in L^{2(I)$这个条件入手？毕竟$f$的分量$\alpha_k(f)$满足$\sum_{k=0}}\infty |\alpha_k(f)|^2 < \infty$，这是$L^2$的基本性质。
• 会不会和$a$的选取有关？题目里说$a$是依赖于$f$的常数，是不是可以先确定$a$的具体表达式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira