关于乘积映射的狄拉克分布积分推广及对应范畴论版本的问询

各位好，我最近在结合狄拉克分布和范畴论的内容做一些思考，遇到了一个方向上的疑问，想和大家探讨：

首先先铺垫一下我已经明确的基础结论：
给定拓扑空间$X$，连续函数$f:X\rightarrow \mathbb{R}$，取$x_0\in X$，狄拉克分布$\delta(-,x_0)$满足（这里我们稍微混用一下记号）：
$$\int_{x\in X}\delta(x,x_0)f(x)=f(x_0).$$

接下来我想把这个思路推广开，考虑定义在$X^{n$上的连续函数$f:X}n\rightarrow \mathbb{R}$，以及$x_0\in \mathbb{R}$，有没有类似的公式可以对应下面这个积分：
$$\int_{x\in X^n}\delta (f(x),x_0)f(x)?$$

我最关心的是**$X=\mathbb{R}$且$f$为$n$重乘积映射**的情况，也就是$f(x_1,\ldots,x_n)=x_1\cdot \ldots \cdot x_n$。

我清楚这个问题目前定义得比较模糊，甚至可能不是一个良定的数学问题，所以我并不强求严格的解答，更希望得到一些方向上的指引——比如有没有类似的概念在某个数学分支被研究过？或者有没有相关的理论可以参考？

补充一下背景：范畴论里的余Yoneda引理可以被看作是上述第一个狄拉克分布积分等式的一种范畴化版本，我现在的目标就是找到对应第二个积分的范畴论类比。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Margaret