域上概形的乘积态射像与原态射像的原像交集等价性的疑问

各位好，先跟大家说个已知的结论：对于概形的开子概形 $U \subset X$、$V \subset Y$，我们可以直接验证泛性质，得到 $U \times_S V = p_X^{-1}(U) \cap p_Y^{-1}(V)$。这里要用到一个前提：如果某个态射的像完全包含在一个开子集里，我们就能把余域限制到这个开子概形上。

但我现在有个疑问：如果把这里的开子概形换成闭子概形，上面这个等式还成立吗？毕竟之前知道换成闭子概形的话，是要求定义域为既约概形的，那这种情况下乘积的关系还能保持吗？

或者再推广一点，给定域 $k$ 上的概形态射 $f: X \to Z_1$、$g: Y \to Z_2$，再考虑乘积概形的投影态射 $p_1: Z_1 \times Z_2 \to Z_1$、$p_2: Z_1 \times Z_2 \to Z_2$，是不是一定有 $p_1^{-1}(\text{Im}f) \cap p_2^{-1}(\text{Im}g) = \text{Im}(f \times g)$？

我翻了些概形论的资料，从里面的论证感觉这个结论应该是对的，但还是想跟大家确认一下这个结论的正确性~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者saberlove lin