紧集的核（Ker(A)）的紧性证明求助

嗨，别慌，我们一步一步来拆解这个问题～先帮你梳理清楚切入点：

首先在$\mathbb{R}^n$这个度量空间里，紧集等价于闭且有界，而且紧集的闭子集必然也是紧集——这是个核心性质，我们可以靠它简化问题：只要证明$\text{Ker}(A)$是$A$的闭子集，结合$A$本身的紧性，就能直接得出$\text{Ker}(A)$紧的结论。

那具体怎么证明$\text{Ker}(A)$是闭集呢？我们用序列收敛的思路（闭集的等价定义是：集合内任意收敛序列的极限都属于该集合）：

• 假设${x_k}$是$\text{Ker}(A)$中的序列，且$x_k \to x \in A$（因为$A$是紧集，紧集是闭集，所以极限$x$肯定在$A$里）。
• 我们要验证$x \in \text{Ker}(A)$，也就是证明：对任意$y \in A$，线段$[x,y] \subset A$。
• 取线段$[x,y]$上任意一点$z = tx + (1-t)y$（$t \in [0,1]$），对应每个$x_k$构造点$z_k = tx_k + (1-t)y$。因为$x_k \in \text{Ker}(A)$，根据定义$[x_k,y] \subset A$，所以$z_k \in A$。
• 由于$\mathbb{R}^n$里的线性组合是连续操作，当$x_k \to x$时，$z_k \to z$。而$A$是紧集（闭集），收敛序列的极限$z$必然属于$A$。
• 这就说明线段$[x,y]$上所有点都在$A$里，即$x \in \text{Ker}(A)$，所以$\text{Ker}(A)$是闭集。

最后，因为$\text{Ker}(A) \subset A$，$A$是紧集，紧集的闭子集一定是紧集，所以$\text{Ker}(A)$是紧集啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hypatia