全纯函数空间中相对紧集的导函数集合性质及相关逆问题求助

大家好，我最近在做一道关于全纯函数的习题，遇到了一些卡壳的地方，想请教一下各位：

习题内容 #

题目给定$\Omega \subset \mathbb{C}$是一个开凸集，$F \subset H(\Omega)$（$H(\Omega)$是$\Omega$上的全纯函数空间）是紧开拓扑下的相对紧集，需要完成三个任务：

1. 证明$F' = {f' \mid f \in F}$也是相对紧集；
2. 给出反例说明上述结论的逆命题不成立；
3. 补充一个附加条件，使得当$F'$相对紧时，$F$也能成为相对紧集。

我的尝试与遇到的问题 #

一开始我想通过$F$的序列紧性来推导$F'$的序列紧性，但我的教授提醒我，我们不能默认$H(\Omega)$在紧开拓扑下是序列紧的，建议我用Ascoli-Arzelá定理来处理。我知道用这个定理需要验证$F'$满足一致有界性和等度连续性，等度连续性我大概有思路，但一致有界性怎么证明我完全摸不着头脑。

已经搞定的部分 #

关于逆命题的反例我已经想出来了：我定义了$F = {f_n \mid n \in \mathbb{N}}$，其中每个$f_n(z) = n$都是常数函数，这样$F' = {0}$显然是紧集，但$F$不是点态有界的，根据Ascoli-Arzelá定理，它肯定不是相对紧集。不过第三个任务，也就是要加什么附加条件才能让逆命题成立，我完全没有头绪，希望能得到大家的提示或者思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Contrad