不借助李代数工具证明单连通李群同构与局部同构等价性的提示或参考资料求助

嘿，我太懂你这种想绕开李代数、纯用拓扑和李群基础性质啃下这个结论的心情了！你用道路延拓的思路其实完全走对了方向，卡壳在“延拓良定义”这一步很正常，正好可以用单连通性来破局，给你几个具体的提示：

• 先锚定局部同构的核心性质：你手头的局部微分同胚 $\varphi: U \to V$（$U$、$V$ 分别是 $G$、$H$ 单位元的邻域），在 $U$ 内只要群运算的结果还在 $U$ 里，就满足 $\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)$。这个“局部保运算”是延拓的核心依据。
• 针对道路选择的歧义问题：假设 $G$ 里有两条从 $e_G$ 到 $g$ 的道路 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$，因为 $G$ 单连通，这两条道路是同伦的——存在一个连续的同伦映射 $H: [0,1]\times[0,1] \to G$，把 $\gamma_1$“形变”成 $\gamma_2$，且形变过程中始终固定起点 $e_G$ 和终点 $g$。
• 用紧致性切分同伦：李群是局部欧氏的，同伦 $H$ 是连续映射，所以你可以把正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 切成足够小的网格，每个小网格对应的 $H$ 的像都完全落在某个左平移后的 $U$ 里（比如 $g \cdot U$，$g$ 是网格内某点的像）。对于每个这样的左平移邻域，你可以定义“局部延拓”：$\varphi_g(x) = \varphi(g^{-1}x)$（当 $x \in g \cdot U$ 时），而局部保运算的性质能保证，在两个左平移邻域的重叠区域里，这些局部延拓是一致的。
• 顺着同伦网格验证一致性：从 $\gamma_1$ 对应的延拓结果出发，顺着同伦的网格一格一格推到 $\gamma_2$ 的延拓结果，你会发现每一步的延拓都保持相等——本质上是利用单连通性把闭道路（$\gamma_1 * \gamma_2^{-1}$）的延拓变成 $H$ 里的单位元闭道路，从而证明两条道路的延拓结果相同。
• 额外补充：当你证明了延拓是良定义的之后，还需要验证它是群同态——取 $G$ 中任意两个元素 $g_1, g_2$，选从 $e_G$ 到 $g_1$ 的道路 $\gamma_1$，从 $e_G$ 到 $g_2$ 的道路 $\gamma_2$，那么 $\gamma_1 * (g_1 \cdot \gamma_2)$ 就是从 $e_G$ 到 $g_1g_2$ 的道路，用局部保运算的性质就能推出 $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$，再加上局部同胚的性质，就能得到这是一个全局同构了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kai