关于极小数值下误差函数计算及正态分布极端分位点CDF近似的技术咨询

嘿，这个问题挺有意思的——毕竟谁不想用极端概率跟朋友开玩笑呢😉

针对你要计算标准正态分布下z=-70.5的CDF（也就是P(X ≤ -70.5)）的需求，普通计算器确实会因为数值太小出现精度溢出，但我们可以用渐近近似的方法来估算，而且能得到足够准确的数量级甚至精确值：

核心思路：极端左尾CDF与PDF的渐近关系 #

当z是绝对值极大的负数时，正态分布的左尾CDF（Φ(z)）和PDF（φ(z)）之间有非常好用的近似公式。此时被积函数$e^{-t²/2}$在t=-70.5处衰减得极快，积分值（CDF）可以用PDF乘以一个修正项来近似，修正项来自渐近展开的前几项。

具体来说，标准正态左尾CDF的渐近展开式（当z→-∞时）为：

Φ(z) ≈ φ(z) * ( 1/|z| - 1/|z|³ + 3/|z|⁵ - ... )

其中φ(z)就是你已经算出的PDF：φ(z) = (1/√(2π))e^{-z²/2} ≈ 10^{-1080}

近似计算步骤 #

1. 一阶近似（足够满足你的需求）
   因为|z|=70.5，1/|z|³≈2.8×10^{-6}，这个值远小于1，所以后面的高阶项对结果的影响极小，我们可以只取第一项：

   Φ(z) ≈ φ(z) / |z| ≈ 10^{-1080} / 70.5 ≈ 1.42×10^{-1082}
   

   这个结果的数量级完全准确，对于跟朋友开玩笑的场景来说完全够用。

2. 更精确的对数计算法
   如果想得到更精确的对数形式（避免直接处理极小数值），可以先计算CDF的自然对数：

   • 首先，$ln(φ(z)) = -z²/2 - 0.5×ln(2π) ≈ -2485.125 - 0.919 ≈ -2486.044$
   • 然后加上$ln(1/|z|) ≈ -ln(70.5) ≈ -4.255$
   • 最终$ln(Φ(z)) ≈ -2486.044 -4.255 ≈ -2490.3$
     转换成常用对数的话，$log₁₀(Φ(z)) ≈ -2490.3 / ln(10) ≈ -1081.85$，对应数值就是≈1.4×10^{-1082}，和一阶近似一致。

关于PDF是否能近似CDF的问题 #

答案是不能——CDF比PDF小了两个数量级左右（因为要除以70.5），直接用$10^{-1080}$来代替CDF会高估概率约70倍，虽然都是极小值，但如果是要准确的数量级，还是得用上面的近似方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mewtwo 2387