求解多元函数临界点的技术咨询

嗨，我来帮你一步步梳理这个多元函数临界点的求解过程，先从检查你的偏导数计算开始哈！

首先咱们先把原函数化简一下，方便后续计算：
原函数 ( f(x,y,z) = yx^2 + zy^3 + z + 2yx - zy - z ) 里的 ( +z ) 和 ( -z ) 可以直接抵消，化简后是：
$$f(x,y,z) = yx^2 + zy^3 + 2yx - zy$$

接下来核对你算的偏导数，发现有两处小错误：

• ( f_y ) 计算错误：你写的是 ( x^2 + 3zy^2 + 2z )，但实际上对 ( y ) 求偏导时，( 2yx ) 的导数是 ( 2x )，( -zy ) 的导数是 ( -z )，正确的 ( f_y ) 应该是 ( x^2 + 3zy^2 + 2x - z )
• ( f_z ) 计算错误：原函数里的 ( z ) 项抵消后只剩 ( zy^3 - zy )，对 ( z ) 求偏导应该是 ( y^3 - y )，你多写的 ( +1 -2y -1 ) 是误算啦

修正后，我们得到正确的偏导数方程组（令所有偏导等于0）：

1. ( f_x = 2yx + 2y = 0 ) → 提取公因式后写成 ( 2y(x + 1) = 0 )
2. ( f_y = x^2 + 3zy^2 + 2x - z = 0 )
3. ( f_z = y^3 - y = 0 )

接下来分情况讨论求解：

情况1：( y = 0 ) #

把 ( y=0 ) 代入第三个方程 ( f_z = 0^3 - 0 = 0 )，满足条件。再代入第二个方程：
$$x^2 + 0 + 2x - z = 0 \implies z = x^2 + 2x$$
这时候 ( x ) 可以取任意实数，所以这是一族临界点：
$$(x, 0, x^2 + 2x) \quad \text{其中 } x \in \mathbb{R}$$

情况2：( x = -1 )（因为 ( 2y(x+1)=0 )，当 ( y \neq 0 ) 时必然有 ( x=-1 )） #

现在固定 ( x=-1 )，且 ( y \neq 0 )，看第三个方程 ( f_z = y^3 - y = 0 )，因式分解得：
$$y(y^2 - 1) = 0 \implies y(y-1)(y+1) = 0$$
因为 ( y \neq 0 )，所以 ( y=1 ) 或 ( y=-1 )：

• 当 ( y=1 )，( x=-1 ) 时，代入第二个方程：
  $$(-1)^2 + 3z \cdot 1^2 + 2 \cdot (-1) - z = 0 \implies 1 + 3z - 2 - z = 0 \implies 2z = 1 \implies z = \frac{1}{2}$$
  得到临界点：( (-1, 1, \frac{1}{2}) )
• 当 ( y=-1 )，( x=-1 ) 时，代入第二个方程：
  $$(-1)^2 + 3z \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - z = 0 \implies 1 + 3z - 2 - z = 0 \implies 2z = 1 \implies z = \frac{1}{2}$$
  得到临界点：( (-1, -1, \frac{1}{2}) )

最终所有临界点总结 #

• 一族依赖于 ( x ) 的点：( (x, 0, x^2 + 2x) )（( x ) 为任意实数）
• 两个孤立点：( (-1, 1, \frac{1}{2}) ) 和 ( (-1, -1, \frac{1}{2}) )

小提醒：求偏导前先化简原函数，能大大减少计算错误的概率哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mintteaplease