关于参数版超穷递归定理的替代证明有效性的问询

嘿，我最近在研读Hrbacek和Jech的《集合论导论》（第三版），里面给出了两个超穷递归定理的证明：

超穷递归定理：设$G(x)$是一个运算，则存在运算$F(x)$，使得对所有序数$\alpha$，有$F(\alpha)=G(F\restriction\alpha)$。

参数版超穷递归定理：设$G(z,x)$是一个运算，则存在运算$F(z,x)$，使得对所有序数$\alpha$和所有集合$z$，有$F(z,\alpha)=G(z,F_z\restriction \alpha)$，其中$F_z$表示一元运算$F_z(x)=F(z,x)$。

书中作者建议，证明第二个定理的方式是重复第一个定理的证明过程，全程带着参数$z$即可。不过我想到了一个替代证明思路，想问问这个思路是否有效：

超穷递归定理的证明过程表明，定义$F$的性质可以由定义$G$的性质显式写出，我们用$P(G)$来表示这个性质。

现在给定运算$G(z,x)$，对任意固定的$z$，定义运算$G_z(x)=G(z,x)$。根据超穷递归定理，性质$P(G_z)$会为每个$z$定义一个运算$F_z$。

接下来定义运算$F(z,x)=F_z(x)$，这样的$F$应该就满足参数版定理的要求了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alphie