拟拓扑群（或带拓扑的群）中“可数接近”开集的存在性探究

嘿，我最近在琢磨拟拓扑群（或者说任何装备了拓扑的群）相关的一个问题，核心点是关于是否存在与原拓扑的开集“可数接近”的新拓扑。具体问题描述如下：

假设我们有一个群$G$，给它配上拓扑$\tau$后得到拓扑空间$G_\tau$。现在想问：能不能在$G$上定义另一个拓扑$\tau'$，使得对于$G_{\tau'}$中的每一个开集$U$，都能找到$G_\tau$里的某个开集$V$，满足它们的差集是可数集——也就是$|U \setminus V| \leq \aleph_0$？

我最初的思路是尝试通过验证拓扑的三条基本公理（有限交封闭、任意并封闭、包含空集与全集）是否能被这类“可数接近”的集合族满足，以此来证明这样的$G_{\tau'}$是存在的，但目前还没完全理清这个验证过程。

这里有个很直观的例子可以帮助理解：比如欧氏直线$\mathbb{R}$和索伦弗利直线$\mathbb{S}$。在$\mathbb{S}$里，每个开集都是形如$[a,b)$的半开区间，而对应的$\mathbb{R}$里的开集是$(a,b)$，两者的差集仅仅是单元素集合${a}$，显然满足“可数接近”的条件（单个元素的基数远小于$\aleph_0$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jan Safronov