复数虚部相关恒等式的矩阵推广问题及Σ的约束条件探究

嘿，这个问题挺有意思的——把标量复数里的经典虚部恒等式推广到矩阵领域，咱们一步步拆解分析：

先回顾标量的基础情况 #

对于复数 ( z = x + iy )（( x,y \in \mathbb{R} )），已知 ( {\rm Im}\ z = c |z|^2 ) 可推出 ( c = \frac{y}{|z|^2} )，接着计算 ( z^{-1} ) 的虚部：
[
{\rm Im}\ z^{-1} = {\rm Im}\left{\frac{x - iy}{x^2 + y^2}\right} = -\frac{y}{|z|^2} = -c
]
这个标量场景的推导是完全成立的，接下来咱们把这个逻辑延伸到矩阵上。

矩阵场景的推导与结论 #

首先要明确矩阵虚部的统一定义：为了和标量场景对齐，我们定义复矩阵 ( M ) 的虚部为 ( {\rm Im}\ M = \frac{M - M^}{2i} )，这样 ( {\rm Im}\ M ) 是埃尔米特矩阵（满足 ( ({\rm Im}\ M)^ = {\rm Im}\ M )），和标量中虚部为实数（埃尔米特标量）的性质一致。

假设 ( M ) 是可逆复矩阵（毕竟要讨论 ( M^{-1} )，可逆是基础前提），且满足 ( {\rm Im}\ M = M\Sigma M^* )，我们来推导 ( {\rm Im}\ M^{-1} ) 的表达式：

1. 从已知条件出发，两边左乘 ( M^{-1} )、右乘 ( (M^*){-1} )（注意 ( (M^*){-1} = (M^{-1})* )，逆的共轭转置等于共轭转置的逆）：
   [
   \frac{M^{-1}(M - M^*)(M*)^{-1}}{2i} = \Sigma
   ]
2. 展开左边的式子：
   [
   \frac{M^{-1}M(M)^{-1} - M^{-1}M(M^*){-1}}{2i} = \frac{(M^*){-1} - M^{-1}}{2i} = \Sigma
   ]
3. 计算 ( {\rm Im}\ M^{-1} )：
   [
   {\rm Im}\ M^{-1} = \frac{M^{-1} - (M^{-1})*}{2i} = \frac{M^{-1} - (M^*){-1}}{2i} = -\frac{(M^*){-1} - M^{-1}}{2i} = -\Sigma
   ]

由此可见，( {\rm Im}\ M^{-1} = -\Sigma ) 这个等式是成立的！

对Σ的约束条件 #

从推导过程和矩阵性质可以得出Σ的约束：

• Σ必须是埃尔米特矩阵：因为 ( {\rm Im}\ M ) 是埃尔米特矩阵，等式右边 ( M\Sigma M^* ) 也必须是埃尔米特矩阵；同时从 ( \Sigma = -\rm{Im}\ M^{-1} ) 也能直接推出，( \rm{Im}\ M^{-1} ) 是埃尔米特矩阵，所以Σ必然是埃尔米特矩阵。
• 你之前猜测的实对角矩阵是埃尔米特矩阵的一个特例（实对角矩阵满足共轭转置等于自身），所以这个情况完全符合约束，但Σ的范围更广——所有埃尔米特矩阵都满足条件，只要存在对应的可逆矩阵 ( M ) 使得 ( {\rm Im}\ M = M\Sigma M^* )。

如果你的矩阵虚部采用的是 ( {\rm Im}\ M = \frac{M - M^*}{2} )（此时 ( {\rm Im}\ M ) 是反埃尔米特矩阵），推导逻辑类似，只是Σ需要是反埃尔米特矩阵，( {\rm Im}\ M^{-1} = -\Sigma ) 仍然成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MarcosMFlores