三个函数的可逆复合下中间函数g的单射性与满射性判定问题

这是个很有意思的函数论问题，我们分有限集合和无限集合两种场景来逐一分析，先明确两个核心前置结论：

• 一个函数可逆，当且仅当它是双射（同时满足单射和满射）；
• 复合函数的性质：
  • 若 $F \circ K$ 是单射，则 $K$ 必为单射；
  • 若 $F \circ K$ 是满射，则 $F$ 必为满射。

一、当集合 $A$ 是有限集时 #

在有限集合上，函数的单射、满射、双射三者等价，因此我们可以推导：
因为 $f \circ g \circ h$ 是双射，所以它同时满足单射和满射：

1. $g$ 必为单射：
   假设 $g$ 不是单射，由于 $A$ 有限，$g$ 的像集大小必然小于 $|A|$，那么 $g \circ h$ 的像集大小也会小于 $|A|$，最终导致 $f \circ g \circ h$ 的像集大小小于 $|A|$，这与 $f \circ g \circ h$ 是满射矛盾，因此 $g$ 必须是单射。
2. $g$ 必为满射：
   假设 $g$ 不是满射，同理，$f \circ g$ 的像集大小会小于 $|A|$，这与 $f \circ g \circ h$ 是满射矛盾，因此 $g$ 必须是满射。

综上，有限集场景下，$g$ 一定是单射且满射（即双射）。

二、当集合 $A$ 是无限集时 #

无限集的函数性质和有限集有本质区别，此时 $g$ 不一定是单射，也不一定是满射，我们可以通过具体反例验证：

反例1：复合可逆，但 $g$ 不是单射 #

取 $A = \mathbb{N}$（自然数集，包含0）：

• $h(n) = n + 1$（单射但不满射，像为 $\mathbb{N} \setminus {0}$）；
• $g(n) = \begin{cases} 0, & n = 0 \text{ 或 } n = 1 \ n - 1, & n \geq 2 \end{cases}$（显然非单射，因为 $g(0)=g(1)=0$）；
• $f(n) = n$（恒等双射函数）。

此时复合函数：
$$f \circ g \circ h(n) = f(g(n+1)) = n$$
这是恒等函数（可逆），但 $g$ 并非单射。

反例2：复合可逆，但 $g$ 不是满射 #

同样取 $A = \mathbb{N}$：

• $h(n) = n$（恒等双射函数）；
• $g(n) = 2n$（非满射，像仅为偶数集合）；
• $f(n) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$（向下取整函数）。

此时复合函数：
$$f \circ g \circ h(n) = f(2n) = n$$
这是恒等函数（可逆），但 $g$ 并非满射。

结论 #

• 有限集合 $A$：$g$ 必为单射且满射（双射）；
• 无限集合 $A$：$g$ 不一定是单射，也不一定是满射，存在复合可逆但 $g$ 非单射/非满射的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adi Hendel