寻找满足复合中点法误差界的合适点列$(x_j^N)_{j=1}^N$

嗨，我来帮你分析这个问题。首先你用等距点$\frac{j}{N}$行不通的核心原因是$f_\alpha(x)=x^{\alpha$在$x\to0}+$时的奇异性（当$\alpha<1$时，导数会无界），等距网格下靠近0的区间会贡献过大的误差，无法达到$O(N^{-2})$的收敛阶。我们需要自适应的密化网格，让靠近0的区间更细，抵消奇点的影响。

思路：变量替换+幂次网格 #

我们可以通过变量替换把原函数的奇异性消除，再对应回x变量的网格：

1. 先做变量替换：令$t = x^{\frac{\alpha+1}{2}}$，则$x = t^{\frac{2}{\alpha+1}}$，求导得$dx = \frac{2}{\alpha+1} t^{\frac{1-\alpha}{\alpha+1}} dt$。
   代入原积分：
   $$I[f_\alpha] = \int_0^1 x^\alpha dx = \frac{2}{\alpha+1} \int_0^1 t dt$$
   你看，原积分转化成了对线性函数$t$的积分，而线性函数用中点法是精确无误差的！

2. 对应到x变量的网格：如果我们在t变量下取等距点$t_j = \frac{j}{N}$（$j=0,1,...,N$，$t_0=0$，$t_N=1$），那么映射回x变量的点就是：
   $$x_j^N = \left( \frac{j}{N} \right)^{\frac{2}{\alpha+1}}$$
   这个点列的特点是：靠近0的地方，点的密度非常高（比如当$\alpha$接近-1时，$\frac{2}{\alpha+1}$会很大，$x_1=(1/N)^{\text{大指数}}$会非常小），正好抵消$f_\alpha$在0附近的导数奇异性。

误差验证 #

我们来验证这个点列的误差阶：

• 对于第一个区间$[0, x_1^N]$，中点法的误差是：
  $$\left| \int_0^{x_1N} x^\alpha dx - x_1^N \cdot f_\alpha\left( \frac{x_1^N}{2} \right) \right| = \left| \frac{(x_1^N){\alpha+1}}{\alpha+1} - x_1^N \cdot \left( \frac{x_1^N}{2} \right)^\alpha \right|$$
  代入$x_1^N=(1/N){\frac{2}{\alpha+1}}$，计算得这部分误差是$O(N^{-2})$，正好符合要求。
• 对于其他区间$[x_j^N, x_{j+1}^{N]$（$j\geq1$），由于$x_j}N$已经远离0，$f_\alpha$在这些区间上足够光滑，加上网格的密化策略，每个区间的误差都是$O(N^{{-3})$甚至更高阶的小量，求和后总误差仍然被$O(N}{-2})$主导。

总结 #

选择点列$x_j^N = \left( \frac{j}{N} \right)^{{\frac{2}{\alpha+1}}$（$j=0,1,...,N$，其中$x_0}N=0$，$x_N^N=1$），就能满足你要求的误差界$|I[f_\alpha] - M_{\textbf x^N}[f_\alpha]| \leq C_\alpha N^{-2}$，其中$C_\alpha$是只和$\alpha$有关的常数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Minerva