关于松村英之《交换环论》习题24.1：A-序列与A/I-序列等价性的证明推进疑问

习题原文 #

Let $A$ be a Noetherian ring, and $I$ an ideal of $A$; assume that $I^r=0$, and that $I^i/I{i+1}$ is a free $A/I$-module for $1\leq i < r$. Then for $x_1,\ldots,x_s\in A$, it is equivalent for $(x_1,\ldots,x_s)$ to be an $A$-sequence or an $A/I$-sequence.

我的证明尝试 #

我跟着提示已经证出了：对所有 $i\geq 1$，$\mathrm{Ass}_A(A/I^i) = \mathrm{Ass}(A/I)$。特别地，因为 $I^r = 0$，所以 $\mathrm{Ass}_A(A) = \mathrm{Ass}_A(A/I)$。这说明 $A\setminus I$ 中的元素是 $A$-正则元当且仅当它是 $A/I$-正则元。但现在要处理的是正则序列，不是单个正则元，接下来该怎么推进呢？

后续证明思路 #

好问题！你已经迈出了最关键的一步——搞定了单个正则元的等价性，接下来只需要用数学归纳法把这个结论推广到任意长度的正则序列上，具体步骤如下：

• 基例（序列长度$s=1$）：这就是你已经证出来的结论——$A\setminus I$ 中的元素是 $A$-正则元当且仅当它是 $A/I$-正则元，完全匹配题目的基例要求。
• 归纳步骤（假设长度为$k$的序列结论成立，推长度为$k+1$的情况）：
  1. 正向推导：假设 $x_1,\dots,x_{k+1}$ 是 $A$-序列，那么前$k$个元素 $x_1,\dots,x_k$ 显然也是 $A$-序列，根据归纳假设，它同时也是 $A/I$-序列。接下来需要证明 $x_{k+1}$ 在商环 $(A/I)/(x_1,\dots,x_k)(A/I)$ 上是正则元。
  2. 商环替换简化问题：记 $\overline{A} = A/(x_1,\dots,x_k)$，$\overline{I} = (I + (x_1,\dots,x_k))/(x_1,\dots,x_k)$，那么 $(A/I)/(x_1,\dots,x_k)(A/I) \cong \overline{A}/\overline{I}$。问题转化为：证明 $\overline{x}{k+1}$（$x{k+1}$ 在 $\overline{A}$ 中的像）是 $\overline{A}$-正则元当且仅当它是 $\overline{A}/\overline{I}$-正则元。
  3. 验证商环满足题设条件：
     • 因为 $I^r=0$，所以 $\overline{I}^r = (I^r + (x_1,\dots,x_k))/(x_1,\dots,x_k) = 0$；
     • 对于 $1\leq i < r$，$\overline{I}^{i/\overline{I}}{i+1} \cong I^i/(I{i+1} + I^i \cap (x_1,\dots,x_k))$。由于 $x_1,\dots,x_k$ 是 $A$-序列，且 $I^i/I{i+1}$ 是自由 $A/I$-模，可证 $I^i \cap (x_1,\dots,x_k) = (x_1,\dots,x_k)I^i$（可借助Artin-Rees引理，或利用自由模无挠性：正则元不会零化自由模的非零元素）；
     • 由此可得 $\overline{I}^{i/\overline{I}}{i+1} \cong (I^{i/(x_1,\dots,x_k)I}i)/(I^{{i+1}/(x_1,\dots,x_k)I}{i+1}) \cong (I^i/I{i+1}) \otimes_A \overline{A}$，而 $I^i/I{i+1}$ 是自由 $A/I$-模，所以这个张量积是自由 $\overline{A}/\overline{I}$-模（因为 $\overline{A}/\overline{I} \cong A/(I + (x_1,\dots,x_k)) \cong (A/I)/(x_1,\dots,x_k)(A/I)$）。
  4. 现在 $\overline{A}$ 和 $\overline{I}$ 满足题设条件，根据基例结论，$\overline{x}_{k+1}$ 的正则性等价性成立，正向推导完成。
  5. 反向推导：假设 $x_1,\dots,x_{k+1}$ 是 $A/I$-序列，思路完全对称——先利用归纳假设得到 $x_1,\dots,x_k$ 是 $A$-序列，再通过同样的商环替换和条件验证，证明 $x_{k+1}$ 是 $\overline{A}$-正则元即可。

你之前得到的 $\mathrm{Ass}A(A) = \mathrm{Ass}A(A/I)$ 是核心依据，它保证了在商环 $\overline{A}$ 中，$\mathrm{Ass}{\overline{A}}(\overline{A}) = \mathrm{Ass}{\overline{A}}(\overline{A}/\overline{I})$，从而单个元素的正则性等价性依然成立，为归纳递推提供了关键支撑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zuka