关于联合事件概率合理性的疑问及条件概率计算结果验证

问题回顾 #

我最近碰到了这么一个条件概率问题，先把背景理清楚：
有两个装着柠檬糖和葡萄糖的袋子：

• Bag #1：5颗柠檬糖，5颗葡萄糖（总共10颗）
• Bag #2：4颗柠檬糖，8颗葡萄糖（总共12颗）

接下来依次完成三个依赖事件：

1. Event I：从Bag #1随机取1颗糖放到Bag #2（此时Bag #1剩9颗，Bag #2有13颗）
2. Event J：再从Bag #1随机取1颗糖放到Bag #2（此时Bag #1剩8颗，Bag #2有14颗）
3. Event K：从Bag #2随机取1颗糖

需要计算三个概率：$P(A)$、$P(B)$和$P(A \cap B)$，其中：

• Event A：从Bag #1取出的两颗糖是同一种口味
• Event B：从Bag #2取出的糖是葡萄味

我的计算过程与结果 #

我用树状图梳理了所有情况（为了和袋子总糖数的分母保持一致，没有化简概率），得到的结果如下：

• $P(A) = P(\text{两次取柠檬}) + P(\text{两次取葡萄}) = 2 \times \left(\frac{5}{10} \times \frac{4}{9}\right) = \frac{4}{9}$
• $P(B) = \text{所有情况下取到葡萄糖的概率之和} = \frac{9}{14}$
• $P(A \cap B) = P(\text{两次同口味且取到葡萄糖}) = \frac{2}{7}$

我的疑问 #

这里我产生了一个困惑：为什么计算出来的$P(A \cap B)$（$\frac{2}{7}$）会比$P(B)$（$\frac{9}{14}$）大？这看起来违反了概率的基本规律啊？

问题解答与验证 #

其实你完全不用担心——你的计算结果是正确的，所谓“$P(A \cap B) > P(B)$”只是你分数换算时的误解而已：
$\frac{2}{7}$等价于$\frac{4}{14}$，显然是小于$\frac{9}{14}$的，完全符合概率的基本逻辑：联合事件$A \cap B$是事件$B$的子集，它的概率必然小于等于$P(B)$。

我们再重新验证一遍关键计算：

1. $P(A \cap B)$的正确值：

   • 当两次取的都是柠檬糖（概率$\frac{2}{9}$）：Bag #2会变成6颗柠檬糖+8颗葡萄糖，此时取到葡萄糖的概率是$\frac{8}{14}$，这部分贡献的概率是$\frac{2}{9} \times \frac{8}{14} = \frac{8}{63}$
   • 当两次取的都是葡萄糖（概率$\frac{2}{9}$）：Bag #2会变成4颗柠檬糖+10颗葡萄糖，此时取到葡萄糖的概率是$\frac{10}{14}$，这部分贡献的概率是$\frac{2}{9} \times \frac{10}{14} = \frac{10}{63}$
   • 两者相加：$\frac{8}{63} + \frac{10}{63} = \frac{18}{63} = \frac{2}{7} = \frac{4}{14}$，确实小于$\frac{9}{14}$。

2. $P(B)$的正确性：
   把所有四种取糖组合的概率都算进去：

   • 柠檬+柠檬：贡献$\frac{8}{63}$
   • 柠檬+葡萄：概率$\frac{5}{18}$，此时取葡萄糖概率$\frac{9}{14}$，贡献$\frac{5}{18} \times \frac{9}{14} = \frac{5}{28}$
   • 葡萄+柠檬：和上面情况对称，贡献也是$\frac{5}{28}$
   • 葡萄+葡萄：贡献$\frac{10}{63}$
     总和：$\frac{8}{63} + \frac{5}{28} + \frac{5}{28} + \frac{10}{63} = \frac{18}{63} + \frac{10}{28} = \frac{2}{7} + \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$，计算无误。

简单来说，你只是在分数比较时犯了一个小疏忽，你的核心计算逻辑是对的，结果完全符合概率的基本规则~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sachintha