相邻贝塞尔函数线性组合的零点位置求证及一般化拓展问询

我最近在研究一类贝塞尔函数线性组合的零点分布问题，用Mathematica验证后发现了一个有趣的现象：对于非负整数 $n=0,1,2,\ldots$，定义函数
$$
f_n(z)\equiv \sqrt{z} J_{n+\frac{1}{2}}(\sqrt{z})+J_{n+\frac{3}{2}}(\sqrt{z})
$$
其中 $J_n$ 是贝塞尔函数，它的所有零点都落在正实轴上——也就是说，只要 $f_n(z)=0$，就必有 $z\in \mathbb{R}^+$。

我想请教各位：有没有简洁的纯数学证明方法可以推导这个结论？另外，这类零点全在正实轴上的性质，能不能推广到更一般的贝塞尔函数线性组合中？

更新1 #

后来我把原函数改写为了更简洁的形式，可能会对证明更有帮助：
$$
f_n(z)\equiv F_n(\sqrt{z})\quad\text{其中}\quad F_n(x)=\left(n+\frac{5}{2}\right)J_{n+\frac{3}{2}}(x)+x,J^\prime_{n+\frac{3}{2}}(x)
$$

更新2 #

后续我找到了相关的已证结论：有一篇论文的推论2.3恰好给出了我要的结果，另外在Watson的贝塞尔函数经典专著第482页，也能找到类似的证明思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user12588