关于级数乘积收敛性的疑问及Abel收敛准则证明思路的咨询

各位好，我最近在尝试证明Abel级数收敛准则的时候，梳理出了一段思路，想和大家探讨下：

我注意到两个关键前提的推论：

• 由于级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ 收敛，根据柯西收敛准则，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，总能找到正整数 $N_1$，使得只要 $n,m \ge N_1$，就有 $\left|\sum\limits_{k=n}^m b_k\right|< \varepsilon$；
• 另外，数列 ${a_n}$ 收敛（设其极限为 $a$），所以同样对于任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_2$，当 $n\ge N_2$ 时，$|a_n -a|< \varepsilon$ 成立。

接着我取 $N= \max{N_1 , N_2}$，这样当所有 $n,m\ge N$ 时，是不是就能得到下面这个不等式：
$$\left|\sum\limits_{k=n}^m b_k\right|(a-\varepsilon)<\left|\sum\limits_{k=n}^m b_k a_k\right|<\left|\sum\limits_{k=n}^m b_k\right|(a+\varepsilon)$$

不知道这个推导步骤有没有漏洞？或者有没有需要补充的细节？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathematics enjoyer