抛物线弧长逆问题与拉伸形变问题的解析解求解问询

问题1：悬挂抛物线状链条的最低高度求解 #

长度为$k$的链条悬挂在间距为$2x$的两固定墙之间，假设链条呈抛物线形状（而非悬链线），求链条最低点的下垂高度？

这是经典抛物线弧长问题的逆问题，经典问题要简单得多：

抛物线$y = a x^2$从原点到$x = x_0$处的弧长是多少？

经典问题的解法很直接：
$$\text{arc length} = \int_0^x \sqrt{1+4a^2t2}\ dt$$
这个积分式也可以用来数值求解第一个逆问题。

不过我注意到，所有抛物线都是相似的，方程里的$a$其实是个干扰项！我们可以通过单位缩放，令抛物线$Y = X^2$对应我们的问题（通过缩放比例$r$，满足$Y = ry, X = rx$），这样应该能找到第一个问题的解析解。

问题2：拉伸后抛物线状链条的形状变化 #

一根链条悬挂在两墙间形成抛物线$y_0 = a_0x^2$，弧长为$s_0$。链条因受热拉伸了$h$倍（弧长变为$h \cdot s_0$），且墙间距$x$保持不变，求新的抛物线形状，即新方程$y_h = a_hx^2$中的$a_h$是多少？

我原本以为这个问题会更简单：因为弧长对$x$的导数显然是$\sqrt{1 + 4a^2x2}$，我们应该能找到弧长变化与$x$变化的比例关系，但$a$的变化规律却把我难住了（无意双关）。

核心疑问 #

上述两个问题是否都存在解析解？（已知数值方法可以求解任意一个问题）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames