关于代数中结合性、柔性、替代性元素集合的术语、符号与定义问询

嗨，我来帮你梳理这类元素集合的相关术语和符号~ 你已经熟悉了代数的中心（所有与其他元素交换的元素构成的集合$Z(A)$），针对满足结合性、柔性、替代性的元素，确实有对应的专门定义和常用标记，具体如下：

• 结合性元素集合
  这类元素指对代数中任意另外两个元素都满足结合律的元素，定义为：
  $$\text{Assoc}(A) = { a \in A \mid a.(b.c) = (a.b).c, ~ \forall b,c \in A }$$
  术语上直接叫结合元（associative elements），集合通常记作Assoc(A)，部分文献也会用$Z_{\text{assoc}}(A)$来强调它和中心类似的“特殊元素子集”属性。如果只满足左结合（$a.(a.b)=(a.a).b$）或右结合（$(b.a).a=b.(a.a)$），还可以细分左结合元、右结合元，不过一般说的结合元默认是双边满足的。

• 柔性元素集合
  就是你给出的这类满足柔性恒等式的元素，术语上叫柔性元（flexible elements），对应的集合你写的$F(A)$完全可以用，另外很多文献也会用Flex(A)作为标准标记，定义如下：
  $$\text{Flex}(A) = { a \in A \mid a.(b.a) = (a.b).a, ~ \forall b \in A }$$
  顺带提一句，如果代数中所有元素都是柔性元，那这个代数就叫柔性代数，而这个集合就是代数中满足柔性条件的元素子集。

• 替代性元素集合
  替代性分左、右和双边三种情况：

  • 左替代元：满足左替代恒等式，集合记为Alt_l(A)：
    $$\text{Alt}_l(A) = { a \in A \mid a.(a.b) = (a.a).b, ~ \forall b \in A }$$
  • 右替代元：满足右替代恒等式，集合记为Alt_r(A)：
    $$\text{Alt}_r(A) = { a \in A \mid (b.a).a = b.(a.a), ~ \forall b \in A }$$
  • 双边替代元：同时满足左、右替代条件的元素，直接叫替代元（alternative elements），集合记作Alt(A)：
    $$\text{Alt}(A) = \text{Alt}_l(A) \cap \text{Alt}_r(A)$$

另外补充一点：这些集合一般都包含代数的中心$Z(A)$，因为中心元素和所有元素交换，自然会满足上述所有恒等式。

备注：内容来源于Stack Exchange，提问作者Gabriel Fanini