关于Isaacs《特征理论》中1.17(c)证明的疑问：构造Hom_{ℂ[G]}(ℂ[G], N)的基的困惑

嘿，我完全get到你现在的困惑点——咱们先把这个问题拆解清楚，从你已经理解的部分出发：

你已经知道$\rm{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(\mathbb{C}[G], N)\cong N$，这个同构是通过把每个同态$\psi$映射到$\psi(1)$实现的，而且每个同态完全由它在1上的像决定，这部分没问题对吧？

现在你纠结的是：当把$\mathbb{C}[G]$分解成直和$\bigoplus_i V_i$，其中有$\alpha$个和$N$同构的子模$N_1,N_2,...,N_\alpha$时，你构造的$\phi_i$（把$\mathbb{C}[G]$中元素的$N_i$分量映射到$N$里的对应元素，其他分量映射到0），它们的$\phi_i(1)$会不会是$N$里的同一个元素？

这里有个关键细节你可能没注意到：每个$N_i$都是$\mathbb{C}[G]$里独立的直和分量，它们对应群代数里的正交本原幂等元——简单说，1在$N_i$里的投影$e_i$（就是你说的“$N_i$的1分量”）是两两正交的，也就是说$e_i e_j = 0$当$i≠j$，而且$e_i^2 = e_i$。

当你定义$\phi_i$的时候，其实是先固定了一个同构$f_i: N_i \to N$（因为$N_i\cong N$），然后$\phi_i(x) = f_i(x_i)$，其中$x_i$是$x$在$N_i$上的投影。这时候$\phi_i(1) = f_i(e_i)$，而不同的$f_i(e_i)$在$N$里是线性无关的：

假设存在复数$c_1,c_2,...,c_\alpha$使得$\sum_{i=1}^\alpha c_i f_i(e_i) = 0$，那么对应的同态$\sum_{i=1}^\alpha c_i \phi_i$满足$(\sum c_i \phi_i)(1) = 0$。根据你之前理解的同构，这个同态就是零同态，也就是说对于所有$x\in\mathbb{C}[G]$，$\sum c_i \phi_i(x)=0$。

但每个$\phi_i$只作用在$N_i$分量上，比如取$x=e_j$，那么$\phi_i(e_j)=0$当$i≠j$，而$\phi_j(e_j)=f_j(e_j)≠0$（因为$f_j$是同构），所以代入后得到$c_j f_j(e_j)=0$，而$f_j(e_j)≠0$，所以$c_j=0$。这就说明所有$c_i$都是0，也就是说${f_i(e_i)}$是$N$里的线性无关组。

另外，从Schur引理的角度看：$\rm{Hom}{\mathbb{C}[G]}(N_i,N)$是1维的（因为$N_i\cong N$是不可约的，Schur引理说不可约模之间的同态空间要么是0要么是1维），而$\mathbb{C}[G]$分解中其他和$N$不同构的$V_i$对应的$\rm{Hom}{\mathbb{C}[G]}(V_i,N)=0$（同样是Schur引理）。所以整个$\rm{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(\mathbb{C}[G],N)$就是$\alpha$个1维空间的直和，它的维度是$\alpha$。但我们又知道这个Hom空间和$N$同构，维度是$\dim N$，所以自然$\dim N = \alpha$——这就是你要证的结论。

总结一下：你构造的$\phi_i$对应的$\phi_i(1)$是$N$里线性无关的元素，并不是同一个，这是因为每个$N_i$对应的幂等元是独立的，通过同构映射到$N$后得到的元素也线性无关，这就支撑了Hom空间的维度等于$\alpha$，进而和$N$的维度相等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Qdzyx