关于正态分布参数γ的Fisher信息计算疑问

嘿，别担心，你的计算结果其实是完全正确的！Fisher信息和γ无关这件事看起来有点反直觉，但咱们一步步拆解下来就会发现它的合理性：

首先，咱们把推导过程再走一遍，确认你的结论没问题：

1. 写出对数似然函数：
   对于独立同分布的样本 $X_1,\dots,X_n \sim \mathrm{N}(0, \exp(2\gamma))$，联合对数似然是：
   $$
   \ell(\gamma; X_1,\dots,X_n) = \sum_{i=1}^n \left[ -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \gamma - \frac{X_i^2 e^{-2\gamma}}{2} \right]
   $$
2. 求一阶偏导：
   对γ求导后得到：
   $$
   \frac{\partial \ell}{\partial \gamma} = \sum_{i=1}^n \left[ -1 + X_i^2 e^{-2\gamma} \right]
   $$
3. 求二阶偏导并计算负期望：
   二阶偏导是：
   $$
   \frac{\partial^2 \ell}{\partial \gamma^2} = \sum_{i=1}^n \left[ -2 X_i^2 e^{-2\gamma} \right]
   $$
   取负期望时，利用 $E[X_i^2] = \exp(2\gamma)$（这是正态分布的方差），代入后：
   $$
   -E\left[\frac{\partial^2 \ell}{\partial \gamma^2}\right] = \sum_{i=1}^n 2 \cdot \exp(2\gamma) \cdot e^{-2\gamma} = \sum_{i=1}^n 2 = 2n
   $$
   完全和你得到的结果一致，说明你的计算没有出错。

那为什么会出现Fisher信息和参数γ无关的情况？咱们换个角度用参数变换的思路理解：
把方差记为 $\sigma^2 = \exp(2\gamma)$，也就是 $\gamma = \frac{1}{2}\ln\sigma^{2$，这是一个**一一对应的单调参数变换**。我们可以先计算关于$\sigma}2$的Fisher信息，再用Fisher信息的变换规则验证：

• 单个样本关于$\sigma^2$的Fisher信息是 $\frac{1}{2(\sigma²⁾2}$，n个样本的Fisher信息就是 $\frac{n}{2(\sigma²⁾2}$
• 对变换$\gamma = \frac{1}{2}\ln\sigma^2$求导，得到 $\frac{d\sigma^2}{d\gamma} = 2\exp(2\gamma) = 2\sigma^2$
• 根据Fisher信息的变换规则：若$\gamma = g(\sigma^2)$，则$I_\gamma(\gamma) = I_{\sigma^2}(\sigma2) \cdot \left(\frac{d\sigma^{2}{d\gamma}\right)}2$
• 代入数值后：$I_\gamma(\gamma) = \frac{n}{2(\sigma²⁾2} \cdot (2\sigma²⁾2 = \frac{n}{2(\sigma²⁾2} \cdot 4(\sigma²⁾2 = 2n$

你看，不管用哪种方法推导，结果都是2n，和γ无关。这是因为γ是方差的对数变换，这种非线性变换刚好让Fisher信息里的$\sigma^2$项完全抵消，最终变成了常数。这种情况在参数变换中并不罕见，完全是合理的，不是你的计算失误哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者trivial_fish