向量函数积分求解咨询
嘿，这个n维向量的积分问题其实可以通过对称性分析和n维球坐标转换轻松拆解，我一步步给你讲清楚～
首先，先看积分的对称性：
- 当$i \neq j$时，积分结果直接为0
原因很简单：被积函数里的$x_i x_j$是关于$x_i$的奇函数（固定其他变量，把$x_i$换成$-x_i$，整个项会变号），而积分区域是整个$\mathbb{R}^n$，关于$x_i=0$完全对称。奇函数在对称区域的积分必然是0，同理对$x_j$也是如此，所以只要$i \neq j$，$I=0$。
接下来重点处理$i = j$的情况，这时候所有$i=j$的积分结果都相等（因为坐标轴是对称的），咱们以$i=j=1$为例计算：
步骤1：转换为n维球坐标
在n维空间中，任意向量$\boldsymbol{x}$可以表示为$\boldsymbol{x} = r\theta$，其中：
- $r = ||\boldsymbol{x}|| \geq 0$，是向量的模长；
- $\theta$是n维单位球面$S^{n-1}$上的点；
- 体积元$\mathrm{d}\boldsymbol{x} = r^{n-1} \mathrm{d}r \mathrm{d}\Omega$，$\mathrm{d}\Omega$是单位球面的面积元。
把这个代入积分，被积函数变成$(1+r2){-p} r^2 \theta_i^2$，积分就拆成了径向积分和球面积分的乘积：
$$I_{ii} = \int_{0}^{\infty} r{n+1}(1+r2)^{-p} \mathrm{d}r \times \int_{S^{n-1}} \theta_i^2 \mathrm{d}\Omega$$
步骤2：计算球面积分
由于单位球面的对称性，所有$\theta_k^2$（$k=1,\dots,n$）的积分值都相等。而单位球面的面积$\Omega_{n-1} = \int_{S^{n-1}} 1 \mathrm{d}\Omega = \frac{2\pi{n/2}}{\Gamma(n/2)}$（$\Gamma$是伽马函数），同时$\sum_{k=1}n \theta_k^2 = ||\theta||^2 = 1$，所以：
$$n \int_{S^{n-1}} \theta_i^2 \mathrm{d}\Omega = \Omega_{n-1}$$
因此球面积分的结果是：
$$\int_{S^{n-1}} \theta_i^2 \mathrm{d}\Omega = \frac{\Omega_{n-1}}{n} = \frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}$$
步骤3：计算径向积分
做变量替换$t = r^2$，则$\mathrm{d}t = 2r \mathrm{d}r$，$r \mathrm{d}r = \frac{\mathrm{d}t}{2}$，$r^{n+1} = t^{n/2} \cdot r$，代入径向积分后得到：
$$\int_{0}^{\infty} r{n+1}(1+r2)^{-p} \mathrm{d}r = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{n}{2}} (1+t)^{-p} \mathrm{d}t$$
这是贝塔函数的标准形式$B(a,b) = \int_{0}^{\infty} t{a-1}(1+t){-(a+b)} \mathrm{d}t$，这里$a = \frac{n}{2} + 1$，$b = p - (\frac{n}{2} + 1)$。利用贝塔函数和伽马函数的关系$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，可以把径向积分化简为：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)\Gamma\left(p - \frac{n}{2}-1\right)}{\Gamma(p)}$$
步骤4：合并结果并化简
把球面积分和径向积分的结果相乘，再利用伽马函数的性质$\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$化简，最终得到：
$$I_{ii} = \frac{\pi^{n/2} \Gamma\left(p - \frac{n+2}{2}\right)}{2\Gamma(p)}$$
收敛条件
这个积分收敛的前提是径向积分收敛，也就是贝塔函数的参数满足$b > 0$，即$p - \frac{n}{2} - 1 > 0$，也就是$p > \frac{n+2}{2}$，否则积分会发散。
最终结论
整个积分可以用克罗内克函数$\delta_{ij}$（当$i=j$时为1，否则为0）统一表示为：
$$I = \frac{\pi^{n/2} \Gamma\left(p - \frac{n+2}{2}\right)}{2\Gamma(p)} \delta_{ij}$$
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1168149
