关于自由群自由生成集基数最小性的推导正确性问询

你好呀！你的这个推导思路完全踩中了Clara Löh提示的核心，整体逻辑是对的，我来帮你把细节补得更严谨顺滑，让整个论证的闭环更清晰：

首先锚定两个核心前提，这也是你推导里已经用到的关键依据：

1. 自由群的泛性质：对于自由群$F$的自由生成集$S$，所有从$F$到$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的群同态，和所有从$S$到$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的函数是严格双射的——每个同态对应它在$S$上的限制，每个$S\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的函数对应唯一的延拓同态，所以$|\text{Hom}(F,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})|=2^{|S|}$，这一步你完全正确。
2. 生成集的关键性质：因为$S'$生成$F$，所以任意两个从$F$到$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的同态，如果在$S'$上的取值完全相同，那么它们在整个$F$上必然相等（毕竟$F$里的每个元素都是$S'$中元素的乘积/逆元，同态会保持群运算）。

接下来把你的推导步骤细化严谨化：

• 我们定义映射$\Phi:\text{Hom}(F,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to\text{Func}(S',\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$，其中$\Phi(\phi)=\phi|_{S'}$（也就是把每个同态限制到生成集$S'$上）。根据上面的第二个前提，这个映射是单射——如果两个同态的限制结果一样，那它们本身就是同一个同态。
• 单射的存在意味着定义域的基数不超过值域的基数，也就是$|\text{Hom}(F,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})|\leq|\text{Func}(S',\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})|$。
• 代入之前的基数结果，就得到$2^{|S|}\leq2{|S'|}$。不管$S$和$S'$是有限还是无限集合，指数运算的单调性都成立，因此直接推出$|S|\leq|S'|$。

你的原推导里的小瑕疵只是表述上的：你说“限制后的集合是函数从$S'$到$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的子集”，其实更准确的是这个限制映射是单射，因此同态集合的基数不超过函数集合的基数——本质上和你的想法一致，只是把逻辑的核心（单射→基数不等式）明确出来，整个论证就完全无懈可击了，这正是Clara Löh提示里想引导你做的推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Benjita