黎曼流形指数映射局部性质的严格证明求助（John Lee《黎曼流形导论》习题6-7(a)）

这道题来自John Lee的《黎曼流形导论》习题6-7(a)，问题如下：

设$(M, g)$是连通黎曼流形，证明对任意$p \in M$以及$v, w \in T_p M$，有：
$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{d_g\left(\exp _p t v, \exp _p t w\right)}{t}=|v-w|_g .
$$

题目给出的提示是：在以$p$为中心的凸测地球面上，利用黎曼法坐标系下度量$g$的泰勒展开来完成证明。

直观理解与待严谨化的方向 #

从直观上看，在$p$点附近使用黎曼法坐标系时，黎曼度量$g$近似于欧氏度量，所以$d_g\left(\exp _p t v, \exp _p t w\right)$应该和$t|v-w|_g$是同阶无穷小——当$t$足够小时，两者的比值会趋近于1。但我希望能把这个直观的结论严格化。

先补充几个关键背景定义与性质：

• $d_g(p, q)$：连接$p$和$q$的所有曲线的长度的下确界；
• 黎曼法坐标系的核心性质：度量分量$g_{ij}$在中心$p$点的所有方向导数均为0，具体可展开为$g_{ij} = \delta_{ij} + O(|x|^2)$。

我目前尝试的推导步骤 #

我先取了$\epsilon > 0$，使得$B_\epsilon(p)$是一个测地球，同时是一致$\delta$-法坐标系区域。假设$\gamma_t(s)$（$s \in [0, t]$）是连接$\exp_p tv$和$\exp_p tw$的最短曲线，那么首先有：
$$
d_g\left(\exp p t v, \exp p t w\right) = \int_0^t \langle\gamma_t'(s), \gamma_t'(s)\rangle_g^{1/2}ds
$$
结合法坐标系下$g{ij} = \delta{ij} + O(|x|^2)$的性质，我把积分改写为：
$$
= \int_0^t \langle\gamma_t'(s), \gamma_t'(s)\rangle^{1/2} ds + O(t^2)
$$
这里$\langle\cdot,\cdot\rangle$是标准欧氏内积。接着我用了积分中值定理，得到：
$$
d_g\left(\exp _p t v, \exp _p t w\right) = t \langle\gamma_t'(s_0), \gamma_t'(s_0)\rangle^{1/2} + O(t^2)
$$
两边除以$t$再取$t \to 0$的极限，应该能得到：
$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{d_g\left(\exp _p t v, \exp _p t w\right)}{t}= \langle\gamma_0'(0), \gamma_0'(0)\rangle^{1/2} = |\gamma_0'(0)|_g
$$

现在我卡在了最后一步：如何严谨证明$|\gamma_0'(0)|_g = |v-w|_g$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yan Zhu