关于环面通过指定附加映射连接2维圆盘后的基本群计算求助

嘿，这个问题问得特别到位——你一开始的直觉“环面加圆盘基本群是$\mathbb{Z}$”其实是有前提的：只有当你把圆盘粘到零伦的圈上时才成立，但这里的附加映射对应的圈都不是零伦的，不过有意思的是，你举的这几个例子结果居然还是$\mathbb{Z}$？咱们一步步理清楚：

首先，先回忆两个关键知识点：

• 环面的基本群：$\pi_1(T) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，我们通常取两个生成元$a$和$b$：$a$对应沿着第一个$S^1$因子走一圈（比如$z \mapsto (z, 1)$），$b$对应沿着第二个$S^1$因子走一圈（比如$z \mapsto (1, z)$）。环面上任何圈的同伦类都可以写成$a^m b^n$，对应整数对$(m, n)$。
• Van Kampen定理的应用：当你把2维圆盘$B^{2$通过映射$f:S}1 \to T$粘到环面上得到$X=T \cup_f B^2$时，$\pi_1(X)$等于$\pi_1(T)$商掉由$f$的同伦类$[f]$生成的正规子群。简单说，就是把$f$对应的圈在基本群里“捏成一个点”。

接下来逐个分析你的例子：

情况1：$f(z)=(z, -z)$ #

这个映射对应的圈，是沿着第一个因子走一圈，同时沿着第二个因子反向走一圈，所以它的同伦类是$a b^{-1}$，对应整数对$(1, -1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。

我们需要计算商群$(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / \langle (1, -1) \rangle$。这里可以构造一个满同态$\varphi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$，定义为$\varphi(m, n) = m + n$。这个同态的核正好是所有满足$m + n = 0$的整数对，也就是${(k, -k) | k \in \mathbb{Z}}$，正好是由$(1, -1)$生成的子群。根据第一同构定理，这个商群就同构于$\mathbb{Z}$。

情况2：$f(z)=(-z, z)$ #

这个映射的同伦类是$a^{-1} b$，对应整数对$(-1, 1)$。注意$(-1, 1)$和$(1, -1)$生成的是同一个子群（因为$(-1, 1) = -(1, -1)$），所以商群和上面完全一样，还是$\mathbb{Z}$。

情况3：$f(z)=(z, z)$ #

这个映射对应的圈是同时沿着两个因子各走一圈，同伦类是$a b$，对应整数对$(1, 1)$。同样构造满同态$\varphi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$，这次定义为$\varphi(m, n) = m - n$。它的核是所有满足$m = n$的整数对${(k, k) | k \in \mathbb{Z}}$，也就是由$(1, 1)$生成的子群。所以商群依然同构于$\mathbb{Z}$。

额外补充：什么时候结果不是$\mathbb{Z}$？ #

如果你的附加映射是常值映射（比如$f(z)=(1,1)$，把圆盘边界粘到环面上的一个点），那$f$的同伦类是单位元，商掉的是平凡子群，这时候$\pi_1(X) = \pi_1(T) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$——因为这时候$X$其实是环面和2维球面的楔积$T \vee S^2$，而$S2$是单连通的，不影响基本群。

总结一下：你举的这三个非平凡附加映射的例子，最终基本群都是$\mathbb{Z}$，核心原因是它们对应的圈都是环面上的非零伦圈，商掉这些圈生成的子群后，2秩的自由阿贝尔群就变成了1秩的，也就是$\mathbb{Z}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Seth