关于函数在某点的“极限集”L(x)的闭性证明问询

嘿，我来给你捋捋这个问题的思路，其实不用对角线序列那么复杂，换个构造方式就搞定了~

首先回顾一下问题背景：
设函数 $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$，对任意 $x \in [a,b]$，定义集合：
$$L(x) = {y \in \mathbb{R}: \text{存在序列} \left(x_n\right) \text{满足 } x_n \to x \text{ 且 } f(x_n) \to y}.$$
我们要证明这个集合是闭集，也就是如果有一列 $y_r \in L(x)$ 且 $y_r \to y$，那 $y$ 也得在 $L(x)$ 里。

具体构造思路 #

既然每个 $y_r$ 都属于 $L(x)$，那对每个正整数 $r$，我们都能找到一个序列 $\left(x_{r,k}\right)_{k \geq 1}$，满足：

• 当 $k \to \infty$ 时，$x_{r,k} \to x$；
• 当 $k \to \infty$ 时，$f(x_{r,k}) \to y_r$。

现在关键是从这些序列里挑出合适的点，拼成一个新序列，让它既收敛到 $x$，又能让 $f$ 在这个序列上的极限是 $y$。

我们可以这么做：

• 对每个正整数 $n$，利用 $x_{n,k} \to x$，找一个足够大的 $k_n$，使得 $|x_{n,k_n} - x| < \frac{1}{n}$；
• 同时，利用 $f(x_{n,k}) \to y_n$，确保这个 $k_n$ 还满足 $|f(x_{n,k_n}) - y_n| < \frac{1}{n}$。

然后把这些挑出来的点组成新序列 $z_n = x_{n,k_n}$。

验证这个序列符合要求 #

1. $z_n \to x$：因为对每个 $n$，$|z_n - x| < \frac{1}{n}$，而 $\frac{1}{n}$ 当 $n \to \infty$ 时趋近于0，所以根据极限定义，$z_n$ 收敛到 $x$。
2. $f(z_n) \to y$：我们用三角不等式来估计：
   $$|f(z_n) - y| \leq |f(z_n) - y_n| + |y_n - y|$$
   根据我们的构造，第一项 $|f(z_n) - y_n| < \frac{1}{n}$，而题目里说 $y_n \to y$，所以第二项 $|y_n - y|$ 当 $n$ 足够大时也能任意小。两者加起来，当 $n \to \infty$ 时，整个式子趋近于0，所以 $f(z_n) \to y$。

这样一来，$y$ 就满足 $L(x)$ 的定义了，所以 $L(x)$ 是闭集。

是不是比对角线序列的思路更直接？其实核心就是对每个 $n$，同时兼顾“靠近 $x$”和“靠近 $y_n$”这两个条件，挑出对应的点就行啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Prasiortle