关于Jacobson《Basic Algebra I》中PID上有限生成模结构定理证明的细节疑问

嘿，我最近在啃Jacobson的《Basic Algebra I》，刚看到PID上有限生成模的结构定理那部分的证明，有个细节卡壳了——感觉要么是排版/笔误，要么是作者写得有点潦草，想跟大家捋清楚。

定理陈述与证明前半段 #

先明确我们这里用的定理版本：非零的PID $D$ 上有限生成模 $M$ 可以分解为循环模的直和
$$
M = Dz_1 \oplus Dz_2 \oplus \cdots \oplus Dz_s
$$
满足 $\operatorname{ann}(z_i) \supset \operatorname{ann}(z_{i + 1})$ 且 $\operatorname{ann}(z_i) \neq D$。

证明的大致思路是这样的：

• 先取 $M$ 的一组生成元 $x_1, \ldots, x_n$，再取自由模 $D^n$ 的一组基 $(e_1, \ldots, e_n)$；
• 通过满同态 $\eta: e_i \mapsto x_i$，得到 $M \cong D^n/K$，其中 $K = \ker{\eta}$ 本身也是有限生成的，设它的生成元为 $f_1, \ldots, f_m$；
• 把每个 $f_j$ 用 $e_i$ 表示：$f_j = \sum_{i = 1}^{n} a_{ji} e_i$，定义 $m \times n$ 矩阵 $A = (a_{ji})$（Jacobson称这个为生成元 $f_j$ 关于基 $e_i$ 的关系矩阵）；
• 接着换 $D^n$ 的新基 $e_1', \ldots, e_n'$ 和 $K$ 的新生成元 $f_1', \ldots, f_m'$，对应的变换矩阵 $P$（$n \times n$）和 $Q$（$m \times m$）都是可逆的；
• 利用之前的结论，可以把新的关系矩阵 $QAP^{-1}$ 化为Smith标准型，得到不变因子 $d_1, \ldots, d_r$，具体来说就是：$f_i' = d_i e_i'$（$1 \leq i \leq r$），而 $f_i' = 0$（$r < i \leq m$）；
• 再定义 $y_i = \eta(e_i') = \sum_{j = 1}^{n} p_{ij} x_j$，显然这组 $y_i$ 生成 $M$，而且对 $1 \leq i \leq r$，有 $d_i y_i = d_i \eta(e_i') = \eta(d_i e_i') = \eta(f_i') = 0$。

现在考虑任意一个关系：
$$
\sum_{i = 1}^{n} b_i y_i = \eta\left(\sum_{i = 1}^{n} b_i e_i'\right) = 0, \qquad b_i \in D.
$$
这直接推出 $\sum_{i = 1}^{n} b_i e_i' \in K$。

我的疑问 #

Jacobson在这里写了这么一句：

我们因此有 $\sum b_i e_i' = \sum c_i f_i' = \sum c_i d_i e_i'$，而且因为 $e_i'$ 是基，所以对 $1 \leq i \leq n$ 有 $b_i = c_i d_i$。

这我完全搞不懂啊！首先求和符号不带下标就很离谱（原文就是这么写的），更奇怪的是我们明明只有 $r$ 个非零的不变因子，现在却突然提到了 $n$ 个？

我自己琢磨了一下，合理的写法应该是：
$$
\sum_{i = 1}^{n} b_i e_i' = \sum_{i = 1}^{m} c_i f_i' = \sum_{i = 1}^{r} c_i d_i e_i',
$$
理由很简单：$K$ 只有 $m$ 个生成元，而且其中第 $r+1$ 到 $m$ 个生成元都是零。这样的话，对比 $e_i'$ 的系数，应该得到：

• 对 $1 \leq i \leq r$，$b_i = c_i d_i$；
• 对 $r < i \leq n$，$b_i = 0$。

这和Jacobson写的结论完全不一样啊，所以想问问大家是不是我理解错了，还是原文确实有笔误？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者James Davidson