关于用商空间计算ℝ²-D²的紧支上同调的疑问

嘿，我来拆解下这个紧支上同调的问题，咱们一步步理清楚：

首先明确研究的空间：$U = \mathbb{R}^2 - D^2$，也就是整个平面挖掉一个闭圆盘后的开子空间。我们的目标是计算正向极限$\lim_i H^n(U/(U-K_i))$，这里的${K_i}$是$U$的紧穷尽——简单说就是一系列二维环形区域，它们会越来越大，慢慢覆盖整个$U$，同时也越来越靠近被挖掉的那个闭圆盘。

接下来看每个商空间$U/(U-K_i)$：

• 每个$K_i$是个二维环（就像一个越来越宽、同时内圈越来越贴近被挖圆盘的甜甜圈），而$U-K_i$就是这个环的“外部无限区域”加上“内部靠近挖掉圆盘的区域”。
• 把$U$商掉$U-K_i$，相当于把环的内边界和外边界各自捏成单点——因为$U-K_i$分成两部分：内圈外的补集和外圈外的补集，商掉之后，环的内边界所有点等价，外边界所有点等价，中间的环形区域保持原样，这样操作下来，一个二维环就变成了2维球面$S^2$（想象把环形的内外边各捏成一个点，就得到了球面）。

所以结论是：对每个$i$，$U/(U-K_i)$确实同胚于2维球面$S^2$。

那回到紧支上同调的问题：紧支上同调$H_c^{n(U)$的定义就是紧穷尽对应的商空间上同调的正向极限。既然每个商空间的上同调都是$S}2$的上同调——也就是$H^0(S2)=\mathbb{Z}$，$H^2(S2)=\mathbb{Z}$，其余维数的上同调群都是0；而且正向极限中的连接同态都是同构（因为每个球面到下一个球面的诱导映射在上同调层面是恒等映射），所以这个极限的结果和$S^2$的上同调群是完全一致的。

简单说，你的猜想是对的：$H_c^n(U)$确实等价于2维球面的上同调。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者June in Juneau