如何证明标准正态分布累积分布函数等式$f(-b)=1-f(b)$（$b>0$）

嘿，你提到想用求导的方法来证明这个等式，其实这个思路不算完全错——不过求导只能说明两边的导数相等，也就是它们之间差一个常数，还得结合极限来确定这个常数是0才行。不过其实有更直接的方法，不用绕到导数那儿，咱们一步步来：

首先先明确$f(x)$的定义，它是标准正态分布的累积分布函数（CDF）：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t2}{2}} , dt$$

我们先看$1-f(b)$是什么：
$$1 - f(b) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{b} e^{-\frac{t2}{2}} , dt$$
因为标准正态分布的全概率是1，也就是$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t2}{2}} , dt = 1$，把这个代入上面的式子：
$$1-f(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t2}{2}} , dt - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{b} e^{-\frac{t2}{2}} , dt$$
两个积分相减，就得到从$b$到$\infty$的积分：
$$1-f(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{b}^{\infty} e^{-\frac{t2}{2}} , dt$$

接下来做个变量替换，令$u = -t$，那么：

• 当$t = b$时，$u = -b$
• 当$t \to \infty$时，$u \to -\infty$
• 而且$dt = -du$

把这些代入积分里：
$$\int_{b}^{\infty} e^{-\frac{t2}{2}} , dt = \int_{-b}^{-\infty} e^{-\frac{(-u)2}{2}} (-du)$$
注意$(-u)^2 = u^2$，所以指数部分完全不变，而负号可以把积分的上下限反过来，变成从$-\infty$到$-b$：
$$= \int_{-\infty}^{-b} e^{-\frac{u2}{2}} , du$$

积分变量只是个符号，把$u$换成$t$也不影响结果，所以这个积分就等于$\int_{-\infty}^{-b} e^{-\frac{t2}{2}} , dt$，乘以$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$就是$f(-b)$啦！

这样就直接推导出$1-f(b)=f(-b)$，也就是你要证明的$f(-b)=1-f(b)$。

顺便说下你之前的思路：如果用求导的话，两边对$b$求导，左边是$f'(-b)\times(-1)$，右边是$-f'(b)$。而标准正态分布的概率密度函数$\phi(x)=f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x2}{2}}$是偶函数，也就是$\phi(-b)=\phi(b)$，所以左边$-\phi(-b)=-\phi(b)$，右边也是$-\phi(b)$，导数相等说明$f(-b)=1-f(b)+C$（$C$是常数）。再取$b\to\infty$，左边$f(-\infty)=0$，右边$1-f(\infty)+C=1-1+C=C$，所以$C=0$，也能证出来，只是多了一步确定常数的过程，不如直接积分替换来得直观~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr Arrows