矩阵逆相关恒等式的证明咨询及求解思路疑问

假设以下涉及的所有矩阵逆均存在，需要证明：
$$(A-B)^{-1}=A{-1} + A^{-1}(B{-1} - A^{-1}){-1}A^{-1}.$$

特别地，还有两个推论：
$$\left(I+A\right)^{{-1}=I-\left(A}{-1}+I\right)^{-1}$$
以及
$$\left\vert\left(I+A\right)^{{-1}+\left(I+A}{-1}\right)^{-1}\right\vert=1.$$

我尝试了一些方法，但完全没法化简那个下划线的部分（注：原提问中提及的下划线内容未明确展示）：

我本来想构造某种无穷几何级数，让$(AB^{-1} - I)$项出现在求和过程中，但这似乎没什么帮助，而且我也不确定这种做法在数学上是否合理。我接下来该怎么做呢？另外，我刚开始学习线性代数，所以非常希望能得到一个仅使用矩阵基本性质的解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cognoscenti