变分法中泛函不变性与δJ=0的关系技术问询

嘿，咱们先把背景铺垫清楚，再聚焦你的问题：

端点可变的变分法背景 #

在变分法里，我们会讨论端点也可变的一般变分情况（也就是$x_0$和$x_1$都可以变化）。经过推导后，我们会得到一阶变分的表达式：
$$\delta J = \left[\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y + (F - y'\frac{\partial F}{\partial y'})\delta x\right]_{x=x_0}^{x=x_1}$$

这里要注意两个关键点：

• 这个$\delta J$已经是一阶变分，而且里面没有欧拉-拉格朗日项。原因很简单：如果$y(x)$是真实路径（也就是能让泛函取极值的路径），那就算是端点固定的变分，$\delta J$也必须为0，所以欧拉-拉格朗日项直接消失了。
• 既然$y(x)$是真实路径，那按常理来说，不管怎么变分（包括端点可变的情况），$\delta J$都应该等于0。

你的核心问题：为什么只有泛函不变时才能令$\delta J=0$？ #

你提到的书中通过变换替换了$\delta x$和$\delta y$，但作者只在泛函具有不变性的前提下，才让$\delta J=0$。这看起来和我们刚才说的“真实路径的变分$\delta J$必为0”有点矛盾，对吧？

咱们来拆解这个逻辑：

1. 首先，“真实路径的变分$\delta J=0$”是针对**任意满足变分规则的$\delta x$和$\delta y$**来说的——只要是对真实路径做合法的变分，不管变分的形式是什么，一阶变分都得是0。
2. 但书中的情况不一样：这里的$\delta x$和$\delta y$不是任意的变分，而是由特定变换生成的变分（比如平移、旋转这类对称变换）。
3. 泛函的“不变性”是什么意思？就是当我们对路径做这个特定变换时，泛函的取值完全不变，也就是$J[y_{\text{变换后}}] = J[y_{\text{原路径}}]$。这时候，变换带来的泛函变化量（也就是$\delta J$）自然是0。
4. 反过来，如果泛函对这个变换不具有不变性，那做了变换之后，泛函的取值会变化，$\delta J$就不等于0——哪怕原路径$y(x)$是真实路径也一样。因为这里的“变换”不是普通的“变分求极值”操作，而是对路径做了特定的对称变换，只有当泛函在这个变换下不变时，$\delta J$才会是0。

举个简单的例子：如果泛函描述的是一个平移不变的物理系统，那把真实路径整体平移后，泛函值不变，这时候平移带来的$\delta J=0$；但如果系统不具有平移不变性（比如存在一个固定的外力场），那平移真实路径后，泛函值会变，$\delta J$就不为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giorgi