关于末位为03、23、43、63或83的素数猜想的验证问询

大家好，我最近受一篇关于末位为19、39、59、79或99的素数的帖子启发，推导了一个新的素数判定猜想，想和各位大佬一起探讨验证：

先明确几个符号定义：

• $n$ 是大于1的自然数
• $\varphi(n)$ 表示欧拉函数（小于等于$n$且与$n$互质的正整数个数）
• $P_n$ 是第$n$个素数
• $\sigma(n)$ 是$n$的所有正约数之和

基于这些定义，我构造了如下表达式：
$$F(n)=\varphi(|\sigma(n)-P_{n+2}|)+1$$

核心猜想 #

如果$F(n)$的末位是 03、23、43、63或83，那么$F(n)$一定是素数。

实例验证 #

比如当$n=10270001113$时：
$$F(10270001113)=\varphi(\sigma(10270001113)-P_{10270001115})+1=\varphi(10468624896-259189944599)+1=248721319703$$
这个数的末位是03，经检验它确实是素数。

想请教各位：这个猜想是否存在反例？或者有没有办法从数论角度去证明/证伪它？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Craw Craw