变参数二项分布的事件概率比较问题

这个问题是由调和测度相关的问题启发而来的，我之前在Mathoverflow上也问过同样的问题，现在把它搬过来，希望跨平台提问不会带来困扰~

下面具体说说问题：

• 我们有一列独立试验，每次试验的成功概率是$p_i$，失败概率则是$(1-p_i)$；而且对于所有的自然数$i$，存在统一的常数$\eta_1,\eta_2$，使得$\frac{1}{2}+\eta_1 \leq p_i \leq 1-\eta_2$始终成立。

核心疑问有两个：

• 当我们进行$n$次这样的试验，并且让$n$趋向于无穷大时，在$p_i$满足上述范围的前提下，能不能找到一组事件，使得它们的总概率，和把所有$p_i$都替换成$\frac{1}{2}$时对应事件的总概率相比，能大到任意程度？
• 我们是不是需要给参数$\eta_2$加上一个下界限制，以此避免失败概率$q_i=1-p_i$变得任意小？

另外，我已经验证过一种特殊情况：

当所有$p_i$都相等，即$p_i=p=\frac{1}{2}+\eta$（其中$\eta$足够小）时，这个结论是成立的。只需要对期望值$np$附近的事件概率做基础计算，当$n\to\infty$时就能验证这一点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aritro Pathak