关于独立同分布Uniform([-1,1])随机变量和序列几乎必然在ℝ中稠密的证明方法问询

嘿，我最近碰到这么一个概率问题，想和大家探讨下可行的证明思路：

设$X_i, i \in \mathbb{N}$是一列独立同分布的$\text{Uniform}([-1, 1])$随机变量，令$S_n = X_1 + \cdots + X_n$。证明：几乎必然地，集合${S_n: n \in \mathbb{N}}$在$\mathbb{R}$中稠密。

我自己琢磨的时候，一直在想能不能用Kolmogorov 0-1律或者Hewitt-Savage 0-1律来切入这个问题？另外，感觉Borel-Cantelli引理应该也能派上用场，有没有大佬能具体讲讲怎么用这些工具来推导这个结论呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harry