Haskell中(.)(.)函数的去无点式推导及原理咨询

我太懂这种对着无点式一脸懵的感觉了——尤其是这种全是运算符的组合，完全像看天书！咱们一步一步来，先搞清楚(.)(.)的去无点式版本，再反向推回无点式，保证你能彻底搞明白。

先回忆(.)的核心定义 #

函数组合运算符(.)的标准定义和类型是：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
(.) f g x = f (g x)

简单说就是：把g运行在x上的结果，再传给f运行，f . g等价于\x -> f (g x)。

第一步：写出(.)(.)的去无点式版本 #

我们给(.)(.)起个名字f，也就是f = (.)(.)。现在通过展开定义，把它转换成带参数的形式：

1. (.)是柯里化函数，所以(.)(.)其实是(.)作为第一个参数，传给另一个(.)，也就是(.) (.)。
2. 根据(.)的定义，(.) f1 f2 = \x -> f1 (f2 x)，所以(.) (.) = \g -> (.) ((.) g)。
3. 再展开(.) ((.) g)：(.) f1 f2 = \x -> f1 (f2 x)，这里f1是(.) g，所以(.) ((.) g) = \h -> (.) g h。
4. 再展开(.) g h：根据定义，(.) g h = \x -> g (h x)。
5. 现在，\x -> g (h x)是一个接受x后返回c->d类型的函数（因为g是b->c->d，h x是b，所以g (h x)是c->d），它还能接受一个参数y，最终得到g (h x) y。

把这些步骤整合起来，f的带参数版本（去无点式）就是：

f g h x y = g (h x) y

我们用ghci验证一下：

-- 定义带参数的版本
f g h x y = g (h x) y
-- 无点式版本
f' = (.)(.)

-- 测试减法的情况
f (-) (*) 2 3  -- 结果是 (- ((*2))) 3 = 6 - 3 = 3
f' (-) (*) 2 3 -- 结果同样是3，完全一致！

第二步：从去无点式逐步推回(.)(.) #

现在按照你给的示例风格，一步步反向推导，从带参数的版本回到无点式：

1. 从最基础的带参数版本开始：

   f g h x y = g (h x) y
   

2. 注意到g (h x)是一个接受y的函数，所以g (h x) y等价于(g (h x)) y。两边都应用了y，可以直接去掉y：

   f g h x = g (h x)
   

3. 现在，g (h x)正好符合(.)的定义：(.) g h x = g (h x)，替换成组合的形式：

   f g h x = (.) g h x
   

4. 两边都应用了x，可以直接去掉x：

   f g h = (.) g h
   

5. 现在，(.) g h是(.)先接受g再接受h，也就是((.) g) h。而\h -> ((.) g) h就是(.) g（柯里化特性：函数本身就是接受参数的），所以：

   f g = (.) g
   

6. 最后，\g -> (.) g就是把(.)作为参数传给(.)，也就是(.)(.)——因为(.)是柯里化的，(.) (.)等价于\g -> (.) g，至此我们就推回了无点式版本：

   f = (.)(.)
   

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Erik