关于方程$x=\tan x$正解的倒数幂和的求解验证及相关求和技术问询

我最近在研究方程$\tan x = x$的实解问题，已知它有无穷多个实解，我把所有正解按递增顺序排成了序列$(\lambda_n){n=1}^{\infty}$，现在想要计算这个级数的和：
$$ \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_n^2} \tag{1} $$
（通过粗略近似$\lambda_n \approx \frac{\pi(2n+1)}{2}$，能很直观地看出这个级数是收敛的）

我尝试的求解方法：Hadamard乘积定理 #

我想到可以用Hadamard乘积定理构造一个以这些$\lambda_n$为根的整函数，然后像欧拉计算$\zeta(2)$那样展开乘积并对比系数来求解。先复习一下Hadamard乘积定理：任何增长阶$\alpha<2$的整函数$f(z)$都可以表示为
$$ f(z) = z^m e^{Az+B} \prod_{\rho} e^{z/\rho} \left(1-\frac{z}{\rho} \right) $$
这里的乘积遍历$f(z)$所有非零复根$\rho$（按重数重复），$m \geq 0$是$f(z)$在$z=0$处的根的阶数，$A,B$是需要确定的常数。

首先，$\tan z - z$不是整函数，但它的非零根和整函数$f(z) = \sin z - z \cos z$完全一致。这个函数的非零根都是单实根，而且因为它是奇函数，根具有对称性：非零根为$\pm \lambda_n$，同时$z=0$是一个三重根。另外，这个函数的增长阶是1，满足Hadamard定理的条件，所以可以写出：
$$ \sin z-z \cos z = e^{Az+B} z^3 \prod_{n=1}^{\infty} e^{z/\lambda_n} \left(1-\frac{z}{\lambda_n} \right) e^{z/(-\lambda_n)} \left(1-\frac{z}{(-\lambda_n)} \right) = e^{Az+B} z^3 \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z^2}{\lambda_n2} \right) $$

接下来我确定了常数$A$和$B$：

• 计算$B$：取$z \to 0$时的极限，$e^B = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z-z\cos z}{z^3} = \frac{1}{3}$
• 确定$A$：因为$\frac{\sin z-z\cos z}{z^3}$是偶函数，所以$A=0$

这样就得到了：
$$ \sin z-z \cos z = \frac{z^3}{3} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z^2}{\lambda_n2} \right) \tag{2} $$

之后我把左边展开成泰勒级数，和右边的展开式对比系数，得到了：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_n^2} = \frac{1}{10} $$
同时还算出了更高阶的求和结果，比如：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_n^4} = \frac{1}{350} $$
看起来所有偶次幂的倒数和都是有理数。

我想请教的问题 #

• 这个求解过程是否正确？
• 有没有不用Hadamard乘积定理的方法来计算级数(1)？
• 有没有通用的技术（比如围道积分）可以计算形如
  $$ \sum_{\rho} g(\rho) $$
  的求和，其中求和遍历整函数$f$的所有根$\rho$，$g$是某个使得级数收敛的解析函数？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dave